Ecuación de Pell

En matemáticas , la ecuación de Pell es una ecuación diofántica de la forma

{\ estilo de visualización x^{2}-ny^{2}=1,}

donde es un número natural que no es un cuadrado. $norte$

Las propiedades más simples

Los pares son siempre soluciones, llamadas triviales . ${\ estilo de visualización (\ pm 1, \, 0)}$
En vista de la simetría , es suficiente encontrar todas las soluciones con positivo y . $X$ $y$
Si es un cuadrado perfecto , entonces la ecuación no tiene soluciones no triviales, ya que el lado izquierdo contiene la diferencia de dos cuadrados perfectos, lo que explica la restricción del parámetro . $norte$ $norte$

Formulaciones equivalentes y conexión con la teoría de campos

Un par es una solución a la ecuación de Pell si y solo si la norma del número en la extensión del campo es igual a uno: $(x, y)$ $x+y{\raíz cuadrada {n}}$ $\mathbb{Q} ({\sqrt {n}})$ $\matemáticas {Q}$

N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(xy{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2 }.

En particular, la identidad del anillo corresponde a la solución . Por tanto, y también debido a la multiplicatividad de la norma, las soluciones pueden ser tanto “multiplicadas” como “divididas”: soluciones y pueden asociarse a soluciones ${\ matemáticas {Z}} [{\ sqrt {n}}]$ $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

(x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},\;x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1} x_{2}-ny_{1}y_{2},\;-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).

Además, la existencia de soluciones no triviales se puede deducir así del teorema de la unidad de Dirichlet (enunciando en este caso que el rango del grupo de unidades del anillo de enteros de una extensión es 1). $\mathbb{Q} ({\sqrt {n}})$

Conexión con fracciones continuas

Es fácil ver que para grandes y , que son soluciones de la ecuación de Pell, la relación debe estar cerca de . Resulta que una declaración más fuerte también es cierta: tal fracción debe ser convergente para , y se cumple el siguiente criterio : $X$ $y$ $x/y$ ${\ sqrt {n}}$ ${\ sqrt {n}}$

El numerador y el denominador del convergente para son una solución a la ecuación de Pell si y solo si el número de este convergente es impar y se puede comparar con el módulo , donde es el período de la fracción continua para . ${\ sqrt {n}}$ $-una$ $PAGS$ $PAGS$ ${\ sqrt {n}}$

Historia

La primera mención de tal ecuación se encontró en los trabajos de matemáticos de la Antigua Grecia y la Antigua India. Un método general para resolver una ecuación, el llamado "método cíclico", está presente en los trabajos del matemático indio del siglo VII Brahmagupta , sin embargo, sin pruebas de que este método siempre conduzca a una solución. En general, el problema fue formulado por el matemático francés Pierre Fermat , por lo que, en Francia, esta ecuación se denomina " ecuación de Fermat ". El nombre moderno de la ecuación surgió gracias a Leonard Euler , quien erróneamente atribuyó su autoría a John Pell .

Véase también

Teorema de Matiyasevich
Décimo problema de Hilbert
El método chakravala es un método para encontrar la solución no trivial más pequeña.
tiro en cadena

Literatura

Ecuaciones de Bugaenko V. O. Pell . - M .: MTSNMO , 2001. - ISBN 5-900916-96-0 .
Bukhshtab A. A. Teoría de números. — M .: Uchpedgiz , 1960.
Van der Waerden . La ecuación de Pell en las matemáticas de los griegos y los indios // Uspekhi Mat. - 1976. - T. 31 , núm. 5(191) . - S. 57-70 .
Senderov V., Spivak A. Ecuaciones de Pell (parte I) // Kvant . - 2002. - Nº 3 . - S. 2-9 .
Ecuaciones de Spivak A. Pell (parte II) // Kvant . - 2002. - Nº 4 . - S. 5-11 .
Ecuaciones de Spivak A. Pell (parte III) // Kvant . - 2002. - Nº 6 . - S. 10-15 .

Enlaces

Solución en línea de las ecuaciones de Pell
Dario Alpern, Solucionador genérico de ecuaciones con dos variables enteras