Elemento reversible
Un elemento invertible es un elemento del anillo con unidad para el cual existe un elemento inverso con respecto a la multiplicación. Otro nombre es divisor de unidades . Además, principalmente en las traducciones del inglés, se encuentra el nombre unit , lo que puede causar confusión con un solo elemento (en las fuentes inglesas, se usan dos términos diferentes: unit element y Identity element [1] ).
En otras palabras, se dice que un elemento de un anillo es invertible si existe un elemento tal que
donde es el elemento de identidad del anillo.
El conjunto de todos los elementos invertibles de un anillo forma un grupo multiplicativo , llamado grupo de elementos invertibles (menos comúnmente , el grupo de unos ). Este grupo siempre es no vacío, ya que contiene al menos la identidad del anillo.
Elementos asociados
Si es un elemento invertible, entonces los elementos representables como o se denominan asociados con .
Por lo general, el término divisor de unidad y el concepto de elemento asociado se utilizan para áreas de integridad .
Grupo de unidades
Los elementos invertibles del anillo R forman el grupo U ( R ) por multiplicación, el grupo unitario del anillo R. Otros símbolos comunes son R × , R * y E ( R ) (del alemán Einheit ).
En un anillo conmutativo R , el grupo unitario U ( R ) actúa sobre R a través de la multiplicación. Las órbitas de estas acciones se denominan conjuntos de elementos asociados ; en otras palabras, existe una relación de equivalencia ~ sobre R llamada asociación , donde
r ~ ssignifica que existe una unidad u tal que r = us .
Se puede demostrar que U es un funtor de la categoría de anillos a la categoría de grupos : todo homomorfismo de anillos f : R → S genera un homomorfismo de grupos U ( f ) : U ( R ) → U ( S ) ya que f mapea unidades a las unidades.
Un anillo R es un anillo si y solo si U ( R ) = R \{0}.
Ejemplos
- Hay dos divisores de unidades en el anillo de los enteros : +1 y −1.
- En el anillo de residuos módulo m , los elementos invertibles son residuos coprimos con módulo m . Forman el grupo multiplicativo del anillo residual .
- Hay cuatro divisores de unidades en el anillo de los enteros gaussianos : .
- En un anillo de polinomios sobre un campo, cualquier elemento distinto de cero del campo de coeficientes (como un polinomio de grado cero) es un divisor de la unidad.
Notas
- ↑ Comparar divisor de unidades . Archivado el 19 de diciembre de 2021 en Wayback Machine y Unital ring . Archivado el 19 de diciembre de 2021 en Wayback Machine .
Literatura
- Van der Waerden B. L. Álgebra. — M .: Nauka, 1975.
- Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa. - M. : IL, 1963. - T. 1.
- Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1967.