Teorema de Davenport-Schmidt

En matemáticas , en el campo de las aproximaciones diofánticas , el teorema de Davenport-Schmidt determina qué tan bien los números reales de un tipo especial pueden ser aproximados por otro tipo especial de número. Es decir, afirma la posibilidad de obtener una buena aproximación a números irracionales que no son cuadráticos utilizando irracionales cuadráticos o simplemente números racionales . Teorema que lleva el nombre de Harold Davenport y Wolfgang M. Schmidt.

Teorema

Para un número racional o irracional cuadrático, hay enteros únicos , y tales que al menos uno de ellos es distinto de cero, el primero distinto de cero de ellos es positivo, son primos relativos y $\alfa$ $X$ $y$ $z$

x\alfa ^{2}+y\alfa +z=0.

Si es un número irracional cuadrático, como , y podemos tomar los coeficientes de su polinomio mínimo . Si es racional, lo aceptaremos . Usando estos números enteros, definidos de forma única para cada uno de ellos , la altura viene dada por la fórmula $\alfa$ $X$ $y$ $z$ $\alfa$ $x=0$ $\alfa$ $\alfa$

H(\alpha )=\max\{|x|,\;|y|,\;|z|\}.

El teorema establece que para cualquier número real que no sea ni racional ni irracional cuadrático, existen infinitos números reales que son racionales o irracionales cuadráticos y que satisfacen la desigualdad $\xi$ $\alfa$

|\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\;\xi ^{2}),

donde es cualquier número real satisfactorio . [una] $C$ ${\ estilo de visualización C> 160/9}$

Aunque este teorema está relacionado con el teorema de Roth , su uso real es que es eficiente en el sentido de que se puede definir una constante para cualquier dato . $C$ $\xi$

Notas

↑ Davenport H., Schmidt Wolfgang M. Aproximación a números reales mediante irracionales cuadráticos // Acta Arithmetica 13 , (1967).

Literatura

Schmidt Wolfgang M. Aproximación diofántica // Apuntes de clase en matemáticas 785. Springer. (1980 [1996 con correcciones menores])
Schmidt Wolfgang M. Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas // Apuntes de conferencias sobre matemáticas, Springer Verlag 2000.

Enlaces

Teorema de Davenport-Schmidt . PlanetMath .