Teorema de casey

El teorema de Casey o de Casey es un teorema de la geometría euclidiana que generaliza la desigualdad de Ptolomeo . Nombrado por el matemático irlandés John Casey .

Redacción

Sea una circunferencia de radio . Sean (en el orden indicado) cuatro círculos que no se cortan y que están dentro y son tangentes a él. Denote por la longitud del segmento entre los puntos de contacto de la tangente común exterior de los círculos . Entonces [1] : $O$ $R$ ${\ estilo de visualización O_{1},O_{2},O_{3},O_{4))$ $O$ ${\ Displaystyle t_ {ij}}$ ${\ estilo de visualización O_ {i}, O_ {j}}$

t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

En el caso degenerado, cuando los cuatro círculos se reducen a puntos (círculos de radio 0), se obtiene exactamente el teorema de Ptolomeo .

Notas

El teorema de Casey es válido para seis tangentes por pares de cuatro círculos tangentes a un círculo común no solo internamente, como se discutió anteriormente, sino también externamente, como se muestra en la Fig. abajo.

En este caso se cumple la fórmula habitual del teorema de Casey:

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

En el caso degenerado, cuando tres de los cuatro círculos se reducen a puntos (círculos de radio 0), y un lado del cuadrilátero degenera a un punto, y los tres lados restantes del cuadrilátero forman un triángulo equilátero, exactamente el generalizado de Pompeyo se obtiene el teorema .
En el caso degenerado donde los cuatro círculos se reducen a puntos (círculos de radio 0), el último caso también produce el teorema de Ptolomeo .

Prueba

La siguiente prueba es debida (según Bottem [2] ) por Tzacharias [3] . Denotemos el radio del círculo como , y el punto de contacto con el círculo como . Usaremos la notación para los centros de círculos. Tenga en cuenta que el teorema de Pitágoras implica $O_{yo}$ $Rhode Island$ $O$ $K_{yo}$ ${\ Displaystyle O, O_ {i}}$

t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j))}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.

Intentemos expresar las longitudes a través de puntos . Por la ley de los cosenos en un triángulo , ${\displaystyle K_{i},K_{j))$ ${\displaystyle O_{i}OO_{j))$

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=\overline {OO_{i}}^{2}+\overline {OO_{j}}^{2}-2\overline {OO_{i }}\cdot \overline {OO_{j}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}

Como los círculos se tocan, ${\ Displaystyle O, O_ {i}}$

\overline {OO_{i}}=R-R_{i},\,\ángulo O_{i}OO_{j}=\ángulo K_{i}OK_{j}

Sea un punto en el círculo . Según la ley de los senos en un triángulo $C$ $O$ $K_{i}CK_{j}$

\overline {K_{i}K_{j}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{ 2}}

De modo que,

\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left( {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2 }}{2R^{2}}}

y después de sustituir la expresión resultante en la fórmula anterior,

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})\left(1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{2R^{2}}}\right)

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}} {R^{2}}}

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})( R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{R^{2}}}

Finalmente, la longitud deseada

t_{{ij}}={\sqrt {\overline {O_{i}O_{j}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac { {\sqrt {R-R_{i))}\cdot {\sqrt {R-R_{j))}\cdot \overline {K_{i}K_{j))}{R))

Ahora puedes transformar el lado izquierdo usando el teorema de Ptolomeo aplicado a un cuadrilátero inscrito : $K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}$

t_{{12}}t_{{34}}+t_{{14}}t_{{23}}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{ 1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1} K_{2}}\cdot \overline {K_{3}K_{4}}+\overline {K_{1}K_{4}}\cdot \overline {K_{2}K_{3}}\right)

={\frac{1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3 ))}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1}K_{3}}\cdot \overline {K_{2}K_{4}}\right)=t_{ {13}}t_{{24}}

Variaciones y generalizaciones

Se puede demostrar que los cuatro círculos no tienen que estar dentro del gran círculo. De hecho, también pueden tocarlo desde el exterior. En este caso, se deben realizar los siguientes cambios [4] :

Si se tocan del mismo lado (ambos por dentro o ambos por fuera), la longitud del segmento de las tangentes exteriores.

{\ estilo de visualización O_ {i}, O_ {j}}

O

{\ Displaystyle t_ {ij}}

Si se tocan desde lados diferentes (uno desde adentro, el otro desde afuera), - la longitud del segmento de las tangentes internas.

{\ estilo de visualización O_ {i}, O_ {j}}

O

{\ Displaystyle t_ {ij}}

El inverso del teorema de Casey también es cierto [4] . Por lo tanto, si se mantiene la igualdad, los círculos se tocan. Por ejemplo, para la fig. abajo tenemos :

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

Los conceptos de "longitud de un segmento de tangentes externas" y "longitud de un segmento de tangentes internas" pueden ser engañosos, porque estas tangentes se pueden dibujar tanto dentro como fuera del círculo de conexión común, ya que los pares de tangentes similares de dos círculos son siempre igual. Es más importante operar aquí no con los conceptos de "tangentes externas" y "tangentes internas", sino con los conceptos de la tangente más grande y más pequeña para dos círculos, porque dos pares de tangentes similares se pueden dibujar en dos círculos, siempre iguales para cada par, pero no iguales entre diferentes pares de tangentes. Esto se ve claramente al comparar las dos figuras. La ubicación de un par de círculos con respecto a uno de los dos posibles tipos de tangentes comunes dibujadas sobre ellos se puede encontrar por el valor de su inversa de distancia I , que puede tomar 3 valores: 0, +1 y -1.

Aplicaciones

El teorema de Casey y su inverso se pueden usar para probar varios enunciados en geometría euclidiana . Por ejemplo, la demostración más corta conocida [5] del teorema de Feuerbach utiliza la inversa del teorema de Casey .

Notas

↑ Casey, 1866 .
↑ Bottema, 1944 .
↑ Zacarías, 1942 .
↑ 12 Johnson, 1929 .
↑ Casey, 1866 , pág. 411.

Literatura

Juan Casey. Sobre las ecuaciones y propiedades: (1) del sistema de círculos que tocan tres círculos en un plano; (2) del Sistema de Esferas que Tocan Cuatro Esferas en el Espacio; (3) del Sistema de Círculos que Tocan Tres Círculos en una Esfera; (4) del sistema de cónicas inscritas en una cónica y tocando tres cónicas inscritas en un plano // Actas de la Royal Irish Academy. - 1866. - Nº 9 . - S. 396-423 . — .
M. Zacarías. Der Caseysche Satz // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1942. - T. 52 . - S. 79-89 .
O. Bottem. Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. - de la segunda edición extendida publicada por Epsilon-Uitgaven 1987. - Springer 2008 (traducción de Reinie Erné como Topics in Elementary Geometry ), 1944.
Roger A. Johnson. geometría moderna. — Houghton Mifflin, Boston (facsímil republicado por Dover 1960, 2007 como Geometría euclidiana avanzada ), 1929.

Enlaces

Weisstein, teorema de Eric W. Casey (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Shailesh Shirali: Sobre un Teorema de Ptolomeo generalizado (enlace descendente)