Teorema de Kolmogorov-Arnold

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El teorema de Kolmogorov-Arnold , un teorema del análisis de variables reales y la teoría de la aproximación , establece que cada función continua multidimensional se puede representar como una superposición de funciones continuas de una variable. Resuelve el decimotercer problema de Hilbert de una manera más general . [1] [2]

Los trabajos de Andrei Kolmogorov y Vladimir Arnold establecieron que si f es una función continua multidimensional, entonces f puede escribirse como una composición finita de funciones continuas de una variable y una operación de suma binaria . [3] A saber,

f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum_{q=0}^{2n}\Phi_{q}\left(\ suma _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\derecha).

La construcción de la prueba, e incluso construcciones más concretas, se pueden encontrar en Brown y Griebel [4] .

En cierto sentido, Kolmogorov y Arnold demostraron que la única función verdadera de muchas variables es la suma, ya que todas las demás funciones pueden escribirse usando funciones de una variable y suma. [5]

Historia

El teorema de Kolmogorov-Arnold está estrechamente relacionado con el decimotercer problema de Hilbert . En su conferencia de París en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1900, David Hilbert formuló 23 problemas que creía que eran importantes para el desarrollo futuro de las matemáticas. [6] En el 13 de estos problemas, el problema era resolver ecuaciones generales de grados superiores. Se sabe que para ecuaciones algebraicas de grado 4, las raíces pueden calcularse mediante fórmulas que contienen solo radicales y operaciones aritméticas (es decir, tales ecuaciones son resolubles en radicales ). Para órdenes superiores , la teoría de Galois muestra que las soluciones de las ecuaciones algebraicas no pueden expresarse en términos de operaciones algebraicas básicas. De las transformaciones de Tschirnhaus se deduce que la ecuación algebraica general

x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\puntos +a_{0}=0

se puede convertir a la forma La transformación de Tschirnhaus se define mediante una fórmula que contiene solo radicales y operaciones y transformaciones aritméticas. Así, la solución de una ecuación algebraica de grado se puede representar como una superposición de funciones de dos variables, si , y como una superposición de funciones de variables, si . Porque la solución es una superposición de operaciones aritméticas, radicales y soluciones a la ecuación . $y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+\puntos +b_{1}y+1=0$ $norte$ ${\ estilo de visualización n <7}$ ${\ estilo de visualización n-4}$ ${\ Displaystyle n \ geqslant 7}$ ${\ estilo de visualización n = 7}$ $y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0$

Parece imposible una mayor simplificación de las transformaciones algebraicas, lo que lleva a la conjetura de Hilbert de que "la solución de una ecuación general de grado 7 no puede representarse como una superposición de funciones continuas de dos variables". Esto explica la relación del decimotercer problema de Hilbert con la representación de funciones multidimensionales como una superposición de funciones de baja dimensión. En este contexto, ha estimulado numerosos estudios en teoría de funciones y otros problemas relacionados por parte de diversos autores. [7]

Variantes del teorema de Kolmogorov-Arnold

Una variante del teorema de Kolmogorov que reduce el número de funciones externas se debe a George Lorentz. [8] Mostró en 1962 que las funciones externas pueden ser reemplazadas por una sola función . Más precisamente, Lorentz demostró la existencia de funciones , , tal que ${\ estilo de visualización \ Phi _ {q}}$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {q}}$ $\Fi$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {q, p)}$ $q=0,1,\ldots,2n$ $p=1,\ldots,n,$

f(\mathbf {x} )=\sum_{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum_{p=1}^{n}\phi_{q,p}( x_{p})\derecha).

Sprecher [9] reemplazó las funciones internas con una función interna con un cambio correspondiente en sus argumentos. Demostró que existen valores reales , una función continua y una función continua real creciente c para tales que ${\ estilo de visualización \ phi _ {q, p)}$ ${\ estilo de visualización \ eta, \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ $\Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\phi \colon [0,2]\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Labio} {\big (}\ln 2/\ln(2N+2){\big )))$ $N\geqslant n\geqslant 2$

f(\mathbf {x} )=\sum_{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum_{p=1}^{n}\lambda_{p}\phi ( x_{p}+\eta q)+q\derecha).

Phillip A. Ostrand [10] generalizó el teorema de Kolmogorov a espacios métricos compactos. Pues sean espacios métricos compactos de dimensión finita , y sean . Entonces existe una función continua y funciones continuas tales que cualquier función continua se puede representar como $p=1,\ldots,m$ $X_{p}$ $notario público}$ ${\displaystyle n=\sum _{p=1}^{m}n_{p))$ $\phi _{q,p}\colon X_{p}\to [0,1],\ q=0,\ldots,2n,\p=1,\ldots,m$ $G_{q}\dos puntos [0,1]\to \mathbb {R},\q=0,\ldots,2n$ $f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\to \mathbb {R}$

f(x_{1},\ldots,x_{m})=\sum_{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum_{p=1}^{m} \phi _{q,p}(x_{p})\derecha).

Enlaces originales

Andrei Kolmogorov , "Sobre la representación de funciones continuas de varias variables por superposiciones de funciones continuas de un número menor de variables", Izvestiya AN SSSR , 108 (1956), p. 179-182; Traducción al inglés: Amer. Matemáticas. soc. Traducción 17 (1961), pág. 369-373.
Vladimir Arnold , "Sobre una función de tres variables", Izvestiya AN SSSR , 114 (1957), p. 679-681; Traducción al inglés: Amer. Matemáticas. soc. Traducir , 28 (1963), pág. 51-54.

Lecturas adicionales

S. Ya. Khavinson, Mejor aproximación por superposiciones lineales (nomografía aproximada) , AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)

Enlaces

↑ Arnold: Nadar contra la corriente . - Sociedad Matemática Americana , 2014. - Pág. 165. - ISBN 978-1-4704-1699-7 . Archivado el 17 de marzo de 2022 en Wayback Machine .
↑ Shigeo Akashi. Aplicación de la teoría de la entropía ϵ a Kolmogorov: teorema de representación de Arnold // Informes sobre física matemática : diario. - 2001. - vol. 48 . - P. 19-26 . - doi : 10.1016/S0034-4877(01)80060-4 .
↑ Bar-Natán. Postre: el problema número 13 de Hilbert, a todo color . Consultado el 19 de mayo de 2019. Archivado desde el original el 8 de agosto de 2020.
↑ Jürgen Braun, Michael Griebel. Sobre una demostración constructiva del teorema de superposición de Kolmogorov // Aproximación constructiva : diario. - 2009. - Vol. 30 . — Pág. 653 . -doi : 10.1007/ s00365-009-9054-2 . Archivado desde el original el 24 de noviembre de 2018.
↑ Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. Sobre funciones lineales de combinaciones lineales // SIAM J. Sci. estadística computar : diario. - 1984. - vol. 5 . — Pág. 180 . -doi : 10.1137/ 0905013 . Archivado desde el original el 13 de mayo de 2012.
↑ David . Problemas matemáticos (inglés) // Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense : revista. - 1902. - vol. 8 _ - Pág. 461-462 .
↑ Jürgen Braun. Sobre el teorema de superposición de Kolmogorov y sus aplicaciones. - SVH Verlag, 2010. - 192 p.
↑ Jorge; Lorentz. Entropía métrica, anchos y superposiciones de funciones (inglés) // American Mathematical Monthly : revista. - 1962. - vol. 69 . - Pág. 469-485 .
↑ David A. Sprecher. Sobre la estructura de funciones continuas de varias variables (inglés) // Transactions of the American Mathematical Society : revista. - 1965. - Vol. 115 . - P. 340-355 .
↑ Philip A. Ostrand. Dimensión de espacios métricos y el problema de Hilbert 13 (inglés) // Boletín de la American Mathematical Society : revista. - 1965. - Vol. 71 . - P. 619-622 .