El decimotercer problema de Hilbert

El decimotercer problema de Hilbert  es uno de los 23 problemas que David Hilbert propuso el 8 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos . Estaba motivado por la aplicación de métodos nomográficos al cálculo de las raíces de ecuaciones de alto grado, y se refería a la representabilidad de funciones de varias variables, en particular, la solución de una ecuación de séptimo grado en función de los coeficientes, como una superposición de varias funciones continuas de dos variables.

El problema fue resuelto por V. I. Arnold junto con A. N. Kolmogorov , quienes demostraron que cualquier función continua de cualquier número de variables puede representarse como una superposición de funciones continuas de una y dos variables (y, además, que tal representación puede prescindirse de , además de funciones continuas de una variable, la única función de dos variables - suma ): [1] [2]

Las funciones y , sin contar los cero unos, requieren no más de 15, para tres variables, no más de 28.

Planteamiento del problema

Las ecuaciones de grados hasta el cuarto grado inclusive se pueden resolver en radicales : existen fórmulas explícitas para sus soluciones (la fórmula de Cardano y el método de Ferrari para ecuaciones de tercer y cuarto grado, respectivamente). Para ecuaciones de grados, a partir del quinto, su irresoluble en radicales se establece por el teorema de Abel-Ruffini . Sin embargo, las transformaciones de Tschirnhaus permiten reducir la ecuación general de grado n>4 a una forma libre de coeficientes en , y ; para n=5 este resultado lo obtuvo Bring en 1786 , y para el caso general Gerard en 1834 . [3] . Por lo tanto (después de una renormalización adicional), la solución de ecuaciones de grados 5, 6 y 7 se redujo a resolver ecuaciones de la forma

dependiendo de uno, dos y tres parámetros, respectivamente.

No representabilidad con preservación de la clase de suavidad

Solución: Teoremas de Kolmogorov y Arnold

Literatura

1. ↑ V. I. Arnold, Selected-60, M.: Fazis, 1997. P. 18, Teorema 4.
2. ↑ Sobre una prueba constructiva del teorema de superposición de Kolmogorov (enlace descendente) . Fecha de acceso: 21 de septiembre de 2010. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido) 
3. ↑ Weisstein, Eric W. Tschirnhausen Transformación  en el sitio web de Wolfram MathWorld .

• V. I. Arnold. Favoritos-60. - M. : Fazis, 1997.
• V. I. Arnold. Sobre la representación de funciones continuas de tres variables por superposiciones de funciones continuas de dos variables  // Matem. Sáb. - 1959. - T. 48 (90) , No. 1 . - S. 3-74 .
• A. N. Kolmogorov. Sobre la representación de funciones continuas de varias variables como superposiciones de funciones continuas de una variable y adición // DAN SSSR. - 1957. - T. 114 , núm. 5 . - S. 953-956 .
• A. G. Vitushkin. Problema número 13 de Hilbert y temas relacionados  // Uspekhi Mat . - 2004. - T. 59 , N° 1 (355) . — P. 11–24 .
• V. V. Prasolov . Polinomios . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .
• V. I. Arnold. Invariantes topológicos de funciones algebraicas. II  // Función análisis y sus aplicaciones.- 1970.- Edición. 2 , n º 4 . - S. 1-9 .
• V. I. Arnold. Sobre clases de cohomología de funciones algebraicas preservadas bajo transformaciones de Tschirnhausen  // Funct. análisis y sus aplicaciones.- 1970.- Edición. 1 , n º 4 . - S. 84-85 .
• G. N. Chebotarev. Sobre el problema  resolutivo // Uchen. aplicación Kazán. estado Universidad - 1954. - T. 114 , N º 2 . - S. 189-193 .
• Problemas de Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 copias. Archivado el 17 de octubre de 2011 en Wayback Machine .
• David Hilberto . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (alemán)  (enlace inaccesible) . — Texto del informe leído por Hilbert el 8 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticos de París. Consultado el 27 de agosto de 2009. Archivado desde el original el 8 de abril de 2012.