Teorema de Liouville sobre funciones analíticas enteras acotadas

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Teorema de Liouville sobre funciones analíticas enteras acotadas: si una función entera de variables complejas está acotada, es decir, $f(z)$ ${\ estilo de visualización z = (z_{1}, \ puntos, z_ {n})}$

|f(z)|\leqslant M<\infty,

es decir , una constante. $f(z)$

Generalizaciones

Si es una función completa en , y para algunos $f(z)$ ${\matemáticas C}^{n}$ $r\in \mathbb {R}$

|f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r}),

es decir , un polinomio en variables de grado como máximo .

f(z)

{\ estilo de visualización (z_ {1}, \ puntos, z_ {n})}

r

Si es una función armónica real en todo el espacio numérico , $tu(x)$ $\mathbb{R} ^{n}$

u(x)<C(1+|x|^{r}),

es decir , un polinomio armónico en las variables.

tu(x)

Historia

Esta proposición, una de las fundamentales en la teoría de las funciones analíticas , aparentemente fue publicada por primera vez en 1844 por Cauchy para el caso . Liouville lo expuso en conferencias en 1847 , de ahí el nombre. $n=1$

Prueba (para el caso ) ${\matemáticas C}^{1}$

Sea acotado en el plano complejo , es decir $f(z)$

\existe M\,\forall z\,|f(z)|\leqslant M.

Usamos la fórmula integral de Cauchy para la derivada : $f(z)$

f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z) ^{2}}}\,d\xi,

donde es un círculo de radio que contiene el punto , o . $C_{R}$ $R$ $z$ ${\ estilo de visualización | \ xi -z | = R}$

Tenemos

|f'(z)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{ R}}.

Por tanto, debido a que la fórmula de la integral de Cauchy es válida para cualquier contorno, tenemos , y por tanto y, por tanto, es una constante. El teorema ha sido probado. $\lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0$ ${\ estilo de visualización f' (z) = 0}$ $f(z)$