Teorema de Löwenheim-Skolem

El teorema de Löwenheim-Skolem es un teorema de teoría de modelos según el cual si un conjunto de oraciones en un lenguaje contable de primer orden tiene un modelo infinito , entonces tiene un modelo contable . Formulación equivalente: todo modelo infinito de firma contable tiene un submodelo elemental contable.

Esta afirmación fue enunciada por primera vez en el trabajo de Leopold Löwenheim en 1915 , probada por Turalf Skolem en 1920 .

El teorema a menudo se denomina teorema de Löwenheim-Skolem hacia abajo para distinguirlo de un enunciado similar llamado teorema del aumento de potencia de Löwenheim-Skolem : si un conjunto de oraciones de un lenguaje contable de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo de valor arbitrario. poder infinito ( inglés ascendente Löwenheim - teorema de Skolem ).

Bosquejo de la prueba

Sea la estructura un modelo de un conjunto de fórmulas en un lenguaje contable . Construyamos una cadena de subestructuras , . Para cada fórmula tal que , se denota por un elemento arbitrario del modelo para el cual . Sea una subestructura generada por el conjunto ${\ matemáticas frak N}$ ${\ matemática L}$ ${\mathfrak{M}}_{n}$ $1\leqslant n<\infty$ $\varphi (x)\in {\mathcal {L}}$ ${\mathfrak {N}}\modelos \existe x\,\varphi (x)$ $b_{{\varfi (x)))$ ${\mathfrak {N}}\modelos \varphi (b_{\varphi})$ ${\mathfrak{M}}_{1}$ ${\ matemáticas {N}}$

\left\{b_{\varphi (x)}\mid {\mathfrak {N))\models \exists x\,\varphi (x)\right\}.

Definamos inductivamente como una subestructura generada por el conjunto ${\mathfrak{M}}_{{n+1}}$

\left\{b_{\varphi (x,\;{\bar {a)))}\mid {\mathfrak {N))\modelos \existe x\,\varphi (x,\;{\ barra {a)))\;{\bar {a}}\in {\mathfrak {M}}_{n}\right\}.

Dado que el número de fórmulas es contable, cada una de las subestructuras es contable. Nótese también que su unión satisface el criterio de Tarski-Wota y, por tanto, es una subestructura elemental de , lo que completa la demostración. ${\mathfrak{M}}_{n}$ ${\ matemáticas {N}}$

Idiomas de cardinalidad arbitraria

Los teoremas de Löwenheim-Skolem para lenguajes de cardinalidad arbitraria se formulan de la siguiente manera:

Apagar _ Cada estructura de firma de poder tiene una subestructura de poder elemental . $\kappa$ $\lambda \leqslant \kappa$
Aumentando el poder . Si un conjunto de oraciones en un idioma tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo de cualquier cardinalidad . $\mathcal{L}$ $\lambda \geqslant |{\mathcal {L}}|+\aleph _{0}$

Ejemplos

Véase también

paradoja de skolem