Teoría del modelo

La teoría de modelos es una rama de la lógica matemática que se ocupa del estudio de la relación entre los lenguajes formales y sus interpretaciones , o modelos. El nombre de teoría del modelo fue propuesto por primera vez por Alfred Tarski en 1954 . El principal desarrollo de la teoría de modelos estuvo en los trabajos de Tarski, Maltsev y Robinson .

Orígenes

La teoría de modelos se dedica al estudio de la relación fundamental entre la sintaxis y la semántica . Al mismo tiempo, el lenguaje formal corresponde al primero en él , y el modelo corresponde al segundo, una estructura matemática que permite alguna descripción por parte de este lenguaje. La teoría de modelos surgió como una generalización de los enfoques existentes para resolver problemas metamatemáticos relacionados con el álgebra y la lógica matemática . Estos enfoques en sí existen desde hace mucho tiempo, pero durante mucho tiempo no fueron considerados en su totalidad, en el marco de un único paradigma lógico-filosófico . Un ejemplo natural en este contexto es el problema asociado con el quinto postulado de líneas paralelas de Euclides. Durante siglos, los matemáticos no lograron probar su verdad, hasta que en el siglo XIX Bolyai y Lobachevsky construyeron la geometría no euclidiana , demostrando así que el postulado de las paralelas no se puede probar ni refutar. Desde el punto de vista de la teoría de modelos , esto significa que el sistema de axiomas sin el quinto postulado permite varios modelos diferentes, es decir, en este caso, varias opciones para implementar la geometría.

Así, la teoría original de los modelos surgió de ramas de las matemáticas como la lógica , el álgebra universal y la teoría de conjuntos como generalización y ampliación del conocimiento existente. Por tanto, los primeros resultados de la teoría de modelos aparecieron mucho antes de su aparición “oficial”. El teorema de Löwenheim-Skolem ( 1915 ) se considera el primer resultado de este tipo [1] . Otro resultado importante fue el teorema de compacidad , demostrado por Gödel ( 1930 ) y Maltsev ( 1936 ).

Teoría clásica de modelos de primer orden

La teoría de modelos para la lógica clásica de primer orden es históricamente el primer y más desarrollado ejemplo de un enfoque de teoría de modelos. El papel de los modelos aquí lo juegan conjuntos que representan el rango de valores posibles de las variables . Los símbolos de función se interpretan como operaciones de la aridad correspondiente sobre ellos y los predicados como relaciones (para obtener más detalles, consulte Lógica de primer orden, interpretación ).

Teorema de compacidad

Una de las herramientas más importantes en la teoría de modelos es el teorema de compacidad demostrado por Maltsev , que establece que un conjunto de fórmulas de primer orden tiene un modelo si y solo si el modelo tiene todos los subconjuntos finitos de ese conjunto de fórmulas.

El nombre del teorema proviene del hecho de que puede enunciarse como un enunciado sobre la compacidad de un espacio de piedra .

Del teorema de compacidad se sigue que algunos conceptos no son expresables en lógica de primer orden. Por ejemplo, los conceptos de finitud o contabilidad no pueden expresarse mediante ninguna fórmula de primer orden ni sus conjuntos: si un conjunto de fórmulas tiene modelos finitos arbitrariamente grandes, entonces también tiene un modelo infinito. De manera similar, una teoría que tiene un modelo infinito cuya cardinalidad no es menor que la cardinalidad de la firma tiene modelos de cualquier cardinalidad mayor.

El teorema de compacidad encuentra aplicación para construir modelos no estándar de teorías clásicas, como la aritmética elemental o el cálculo .

Teorías y equivalencias elementales

Una teoría es un conjunto de fórmulas que es cerrado con respecto a la deducibilidad (en resumen, cerrado), es decir, un conjunto tal que si la fórmula se deriva de , entonces pertenece a . $T$ $T$ $\varphi$ $T$ $\varphi$ $T$

Una teoría que tiene al menos un modelo se llama consistente, las otras teorías se llaman contradictorias.

Una teoría se llama completa si para cualquier fórmula la teoría contiene o . Si es un sistema algebraico, entonces el conjunto de fórmulas verdaderas sobre cerradas forma una teoría completa: la teoría del sistema , denotada por . $T$ $\varphi$ $\varphi$ $\lno \varphi$ $A$ $A$ $A$ $Th(A)$

Si sobre sistemas algebraicos y las mismas fórmulas cerradas son verdaderas, entonces y se dice que son elementalmente equivalentes. Así, y son elementalmente equivalentes si y sólo si son modelos de la misma teoría completa. $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Si una teoría completa tiene un modelo finito , entonces todos los modelos de la teoría son isomorfos , en particular, todos contienen el mismo número de elementos. Por lo tanto, para sistemas algebraicos finitos, los conceptos de equivalencia elemental e isomorfismo coinciden. $T$ $A$ $T$ $A$

Subsistemas y teoremas de Löwenheim-Skolem

Un sistema algebraico se llama subsistema de un sistema algebraico si la interpretación de cada símbolo de firma en es una restricción de su interpretación en el conjunto . Un subsistema se llama elemental si para cualquier fórmula y para cualquier se cumple: si y sólo si . El sistema se denomina en estos casos una extensión (elemental) del sistema . $B$ $A$ $|B|\subconjunto |A|$ $B$ $A$ $|B|$ $\varphi (x_{1},\;\ldots,\;x_{n})$ $b_{1},\;\ldots,\;b_{n}\en |B|$ $A\modelos \varphi (b_{1},\;\ldots,\;b_{n})$ $B\modelos \varphi (b_{1},\;\ldots,\;b_{n})$ $A$ $B$

Un subsistema elemental es elementalmente equivalente a . Las teorías para cuyos modelos también es cierto lo contrario (cada subsistema elementalmente equivalente es elemental) se denominan modelos completos. La completitud del modelo de una teoría es equivalente a cada una de las siguientes propiedades: $B$ $A$ $T$

cualquier fórmula en es equivalente a una fórmula existencial, $T$
cualquier fórmula en es equivalente a una fórmula universal, $T$
la combinación con un diagrama de cualquier modelo genera una teoría completa. $T$

Si es un conjunto no vacío, entonces entre todos los subsistemas , incluido el , existe el más pequeño, que se denomina conjunto generado . Para los subsistemas elementales, en el caso general, tal afirmación no es cierta. $X\subconjunto |A|$ $A$ $X$ $X$

Se dice que una teoría tiene funciones térmicas de Skolem si existe un término para cada fórmula y la fórmula se deriva de la teoría . En otras palabras, si hay un elemento en el que la fórmula es verdadera, entonces . puede tomarse como este elemento . Si una teoría tiene funciones térmicas de Skolem, entonces es un modelo completo. Cada teoría tiene una extensión , que tiene funciones térmicas de Skolem. En este caso, cada modelo de la teoría puede enriquecerse al modelo de la teoría . $T$ $\varphi (x,\;{\bar y})$ $t_{\varphi}({\bar y})$ $T$ $(\forall {\bar y})((\existe x)\varphi (x,\;{\bar y})\to \varphi (t_{\varphi }({\bar y}),\;{\ barra y}))$ $\varphi (x,\;{\bar y})$ $t({\bar y})$ $T$ $T^{s}$ $A$ $T$ $A^{s}$ $T^{s}$

El teorema "arriba" de Löwenheim-Skolem establece que si es un sistema algebraico de cardinalidad no menor que , entonces tiene extensiones elementales de cualquier cardinalidad mayor o igual que . $A$ $\alpha =|Th(A)|$ $A$ $\alfa$

El teorema del “abajo” de Löwenheim-Skolem: si es un sistema algebraico de cardinalidad y , entonces tiene subsistemas elementales de cualquier cardinalidad entre y . $A$ $\alfa$ $\beta =|Th(A)|$ $A$ $\beta$ $\alfa$

Axiomatizabilidad y estabilidad

Un conjunto de fórmulas se denomina conjunto de axiomas de una teoría si es un conjunto de consecuencias . En particular, sí mismo es un conjunto de axiomas para sí mismo. Si una teoría tiene un conjunto finito de axiomas, se dice que es finitamente axiomatizable. $A$ $T$ $T$ $A$ $T$ $T$

Las colecciones de sistemas algebraicos se llaman clases. Una clase de sistemas algebraicos se llama axiomatizable si es un conjunto de modelos de alguna teoría . En este caso, el conjunto de axiomas para también se llama conjunto de axiomas para . Una clase es finitamente axiomatizable si y solo si tanto ella misma como su complemento son axiomatizables. $k$ $T$ $T$ $k$ $k$ $k$

Una teoría se llama estable con respecto a los supersistemas (respectivamente, subsistemas) si para cualquier sistema algebraico se sigue de y (respectivamente, ) que . Una teoría es estable con respecto a los subsistemas si y sólo si es axiomatizable mediante fórmulas universales. Una teoría es estable con respecto a los supersistemas si y sólo si es axiomatizable mediante fórmulas existenciales. $T$ $A$ $A\modelos T$ $B\subconjunto A$ $A\subconjunto B$ $B\modelos T$ $T$ $T$

Se dice que una teoría es estable con respecto a los homomorfismos si, para cualquier sistema algebraico , se sigue que , si es una imagen homomórfica de . Una teoría es estable bajo homomorfismos si y sólo si es axiomatizable mediante fórmulas positivas (es decir, fórmulas que no contienen implicación y negación). $T$ $A$ $A\modelos T$ $B\modelos T$ $B$ $A$ $T$

Cadenas

Una cadena es un conjunto de sistemas algebraicos, ordenados linealmente por la relación "ser un subsistema". Si para los elementos de la cadena se cumple la propiedad de "ser un subsistema elemental", entonces la cadena también se denomina elemental.

La unión de una cadena de sistemas algebraicos da un nuevo sistema de la misma signatura, que será un supersistema para todos los elementos de la cadena. Cuando se unifica una cadena elemental, esta unificación será un supersistema elemental y, en consecuencia, se conservará en él la verdad de todas las fórmulas.

Al combinar cualquier cadena (incluidas las no elementales), se conserva la verdad de las fórmulas, y lo contrario también es cierto: si una fórmula conserva su verdad al combinar cualquier cadena, entonces es equivalente a alguna fórmula. $\para todos \existe$ $\para todos \existe$

Las teorías que se pueden axiomatizar mediante fórmulas se denominan inductivas. Según el teorema de Chen-Los-Sushko, una teoría es inductiva si y sólo si es estable con respecto a la unión de cadenas. Un ejemplo importante de teoría inductiva es la teoría de campos de característica fija. $\para todos \existe$ $T$

El método de la cadena es una de las herramientas más importantes para construir sistemas algebraicos con las propiedades deseadas.

Ultraproductos

Que sea el lenguaje. es una familia de sistemas algebraicos, . Un producto directo de los sistemas algebraicos , , es un sistema algebraico , donde para cada símbolo de predicado $L$ $\{{\mathcal {A}}_{i}\}_{{i\in I}}$ ${\mathcal {A}}_{i}=\langle M_{i},\;L\rangle$ ${\mathcal {A}}_{i}$ $yo en yo$ $\prod _{{i\in I}}{\mathcal {A}}_{i}=\left\langle \prod_{{i\in I}}A_{i},\;L\right\rangle$ $P\en L$

\prod _{{i\in I}}{\mathcal {A}}_{i}\models P(a_{1},\;\ldots ,\;a_{{n_{P}}})\Leftrightarrow {\mathcal {A}}_{i}\modelos P(a_{{1i}},\;\ldots,\;a_{{n_{P}i}})

para cada uno ;

yo en yo

para cada símbolo de función $f \ en L$

(f(a_{1},\;\ldots,\;a_{{n_{f}}}))_{i}=f(a_{{1i}},\;\ldots,\;a_{{ n_{f}yo}})

y para cada símbolo constante $c\en L$

(c)_{i}=c.

Sea un filtro . Definamos la relación . Introduzcamos la notación: $D$ $yo$ $\prod _{{i\in I}}A_{i}$ $a\sim _{D}b\Leftrightarrow \{i\in I\mid a_{i}=b_{i}\}\in D$

a/D=\{b\mid b\sim _{D}a\}

\prod_{{i\in I}}A_{i}/D=\left\{a/D\mid a\in \prod_{{i\in I}}A_{i}\right\}.

Definimos un sistema algebraico de la siguiente manera. ${\mathcal {A}}=\left\langle \prod_{{i\in I}}A_{i}/D,\;L\right\rangle$

Fijemos para el símbolo del predicado $P\en L$

{\mathcal {A}}\models P(a_{1},\;\ldots ,\;a_{{n_{P}}})\Leftrightarrow \{i\mid {\mathcal {A}}_{i }\modelos P(a_{{1_{i}}},\;\ldots ,\;a_{{n_{P}i}})\}\en D,

para cada símbolo de función $f \ en L$

f(a_{1}/D,\;\ldots,\;a_{{n_{f}}}/D)=f(a_{1},\;\ldots,\;a_{n})/D

y para símbolos constantes $c\en L$

c=c/D.

El sistema algebraico así definido se denomina producto filtrado de sistemas por el filtro y se denota por . Si es un ultrafiltro , entonces se llama ultraproducto , si todos coinciden y son iguales , entonces se llama ultrapotencia y se denota por . $\mathcal{A}$ ${\mathcal {A}}_{i}$ $D$ $\prod _{{i\in I}}{\mathcal {A}}_{i}/D$ $D$ $\prod _{{i\in I}}{\mathcal {A}}_{i}/D$ ${\mathcal {A}}_{i}$ $\mathcal{A}$ $\prod _{{i\in I}}{\mathcal {A}}_{i}/D$ $\mathcal{A}$ ${\mathcal {A}}^{I}/D$

La propiedad principal de los ultraproductos es que conservan todas las oraciones:

El teorema de Elk. Sea una lengua, sea una familia de sistemas algebraicos de la lengua , y sea un ultrafiltro sobre . Luego, para cualquier fórmula de lenguaje y cualquier secuencia de elementos de $L$ $\{{\mathcal {A}}_{i}\}_{{i\in I}}$ $L$ $D$ $yo$ $\varphi (\overline {x})$ $L$ ${\overline {a}}$ $\prod _{{i\in I}}A_{i}$

\prod _{{i\in I}}{\mathcal {A}}_{i}/D\models \varphi (\overline {a}/D)\Leftrightarrow \{i\in I\mid {\mathcal {A}}_{i}\modelos \varphi (\overline {a}_{i})\}\en D.

Además, el teorema de compacidad se puede formular de la siguiente manera.

El teorema de la compacidad. Si un conjunto de fórmulas es localmente satisfacible en alguna clase , entonces es satisfacible en algún ultraproducto de sistemas de . ${\matemáticas{K}}$ ${\matemáticas{K}}$ [2]

Tipos

Categórico

Se dice que una teoría con igualdad que tiene una firma numerable o finita es categórica en cardinalidad contable si todos sus modelos normales contables son isomorfos . La categorización en una potencia incontable dada se define de manera similar. $T$

La teoría de los modelos de orden superior

Teoría de modelos finitos

Notas

↑ Keisler G., Chen C. Teoría de modelos. — M.: Mir, 1977. — pág. catorce.
↑ Ershov, 1987 , pág. 117.

Literatura

Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Lógica matemática. — M .: Nauka, 1987. — 336 p.
Libro de referencia sobre lógica matemática. Parte 1. Teoría de modelos / ed. J. Barwise. — M .: Nauka, 1982. — 392 p.
Keisler, GJ; Chen Chun, Chen. Teoría de modelos continuos. - M. : Mir, 1971. - 184 p.
Keisler, GJ; Chen Chun, Chen. La teoría de los modelos. — M .: Mir, 1977. — 616 p.

diccionarios y enciclopedias

En catálogos bibliográficos
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