Teorema de morera

El teorema de Morera es una inversión (incompleta) del teorema integral de Cauchy, y es uno de los teoremas fundamentales en la teoría de funciones de variable compleja . Se puede formular así:

Si la función de una variable compleja en la región es continua , y la integral de la misma sobre cualquier contorno rectificable cerrado es igual a cero, eso es $f(z)$ $z$ $D$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ subconjunto D}$

\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,

entonces es una función analítica en . $f(z)$ $D$

La condición del teorema puede debilitarse restringiéndonos al requisito de que las integrales tomadas a lo largo del límite de cualquier triángulo perteneciente a la región se anulen . $D$

Idea de la prueba

La demostración se basa en que una función que satisfaga las condiciones del teorema tendrá una antiderivada en , es decir, existe una función tal que $D$ $F(z)$

{\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).

Pero una función complejamente derivable una vez es analítica, por lo que su derivada también será analítica. $F$

Aplicación

El teorema de Morera es la principal forma de probar la analiticidad de alguna función complejamente definida. Una de las declaraciones centrales aquí es que si una secuencia de funciones analíticas converge uniformemente a una función , entonces $f_n$ $F$

\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0 ,

por tanto, por el teorema de Morera, la función límite también será holomorfa. Así, se demuestra la holomorfía de muchas funciones definidas por series e integrales, por ejemplo, la función zeta de Riemann

{\displaystyle \zeta(s)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{s))))

y las funciones gamma de Euler

\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.

El teorema de Morera también se usa para probar la analiticidad de una función basada en el principio de simetría .

Historia

Este teorema fue obtenido por el matemático italiano Giacinto Morera en 1886 .

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka . - 1969, 577 págs.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Morera's Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .