Teorema de Nash-Moser

El teorema de Nash-Moser es una de las generalizaciones del teorema de la función inversa . John Forbes Nash utilizó una variante de este teorema para demostrar el teorema de incrustación regular . Está claro en su artículo que su método puede generalizarse. Juergen Moser demostró que el método de Nash es aplicable para resolver problemas de órbitas periódicas en la mecánica celeste en la teoría de Kolmogorov-Arnold-Moser . Hasta la fecha, existen varias versiones de la redacción, propiedad de Gromov , Hamilton , Hermander , Moser, Saint-Raymond, Schwartz y Sergerart.

Una de las demostraciones del teorema se basa en el uso de una versión modificada del proceso de Newton para encontrar una solución a la ecuación. Otros enfoques, en particular los de Nash y Hamilton, siguen la solución de una ecuación diferencial ordinaria en un espacio funcional.

Idea de la prueba

Esta sección solo pretende describir la idea y, por lo tanto, es intencionalmente inexacta.

Supongamos que es un operador diferencial de primer orden definido en funciones suaves entre espacios vectoriales , de modo que define un mapeo para cada uno . Supongamos que para alguna función la linealización tiene un operador inverso por la derecha para cualquier función lo suficientemente cerca de . $PAGS$ ${\displaystyle P\dos puntos C^{k+1}\to C^{k))$ $k$ $f_{0}\en C^{k+1}$ ${\displaystyle D_{f}P\dos puntos C^{k+1}\to C^{k))$ ${\displaystyle S_{f}\dos puntos C^{k}\to C^{k))$ $F$ $f_0$

Tenga en cuenta que la composición y pierde una derivada . A partir de esto se puede ver que los intentos de utilizar el método de Newton para encontrar una solución fallan. Es decir, si es una secuencia de funciones determinada iterativamente $S_{f}\circ D_{f}P$ ${\displaystyle P(f)=g_{\infty ))$ ${\ estilo de visualización (f_ {n})}$

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\grande (}g_{\infty}-P(f_{n}){\grande)},

luego sigue eso , y luego . Por las mismas razones, , , y así sucesivamente. Después de un número finito de pasos, la iteración debe terminar, ya que perderá toda regularidad y ni siquiera se determinará el siguiente paso. $f_{0}=f\in C^{k+1}$ ${\displaystyle g_{\infty}-P(f_{0})\in C^{k))$ ${\displaystyle f_{1}\en C^{k))$ $f_{2}\en C^{k-1}$ $f_{3}\en C^{k-2}$

Para resolver este problema, Nash usa un operador de suavizado que, para una función dada , devuelve una función suave que es cercana a la original si . Luego se determina la iteración de Newton "suavizada" $\theta_n$ $F$ ${\ estilo de visualización \ theta _ {n} (f_ {n})}$ $norte$

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\ grande )}.

Este proceso modificado no enfrenta la misma dificultad que la versión anterior "sin suavizar", ya que es una iteración en el espacio de las funciones suaves que nunca pierde regularidad.

Con operadores de suavizado elegidos apropiadamente, esta secuencia ciertamente converge a la solución ; eso es ${\displaystyle f_{\infty))$ $P(f_{\infty})=g_{\infty}$

Literatura

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