Teorema de la función inversa

El teorema de la función inversa da condiciones suficientes para la existencia de una función inversa en la vecindad de un punto en términos de derivadas de la función misma.

El teorema se generaliza a funciones vectoriales . También hay variantes del teorema de la función inversa para funciones holomorfas , para mapeos suaves entre variedades , para funciones suaves entre espacios de Banach .

Formulaciones

Función de valor real

Para una función de una variable , el teorema dice que si es una función continuamente diferenciable con una derivada distinta de cero en el punto , entonces es invertible en la vecindad de . Además, la función inversa es continuamente diferenciable, y $F$ $a$ $F$ $a$

{\bigl (}f^{-1}{\bigr)}'(f(a))={\frac {1}{f'(a))).

Funciones de varias variables

Si la matriz jacobiana de una función continuamente diferenciable que actúa desde un subconjunto abierto del espacio en el espacio es invertible en un punto , entonces la función misma es invertible en una vecindad . $F$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $pags$ $F$ $pags$

Notas

La segunda parte del teorema se deriva de la regla para derivar la composición de funciones .
La existencia de una función inversa equivale a decir que el sistema de ecuaciones puede tener solución para dado , suponiendo que y se encuentran en pequeñas vecindades de y , respectivamente. $F$ $norte$ $y_{i}=F_{i}(x_{1},\puntos,x_{n})$ $x_{1},\puntos,x_{n}$ $y_{1},\puntos,y_{n}$ $X$ $y$ $pags$ ${\ estilo de visualización F (p)}$

Ejemplo

Considere la función vectorial $F\dos puntos \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y} \\\end{bmatriz}}.

La matriz jacobiana tiene la forma $F$

J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y} \\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatriz)).

Su determinante es :

\det[J_{F}(x,y)]=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y =e^{2x}.

Tenga en cuenta que en cualquier momento Según el teorema, para cada punto existe una vecindad en la que es invertible. $e^{2x}\neq 0$ $p\en \mathbb {R} ^{2}$ $F$

Tenga en cuenta, sin embargo, que es irreversible en toda la región. En realidad, $F$ ${\ estilo de visualización F (x, y) = F (x, y + 2 \ pi)}$

para cualquier En particular, no es inyectiva

(x,y)

F

Variaciones y generalizaciones

Caso de dimensión infinita

En el caso de dimensión infinita, se debe exigir además que las derivadas de Fréchet en un punto tengan un operador inverso acotado. $pags$

Variedades

El teorema de la función inversa se generaliza para aplicaciones suaves entre variedades suaves . Sea un mapeo suave entre variedades suaves . Supongamos que el diferencial $F\dos puntos M\a N$

d_{p}F\dos puntos T_{p}M\to T_{F(p)}N

en un punto es un isomorfismo lineal . (En particular, .) Entonces existe una vecindad abierta tal que $pags$ ${\ estilo de visualización \ dim M = \ dim N}$ $U\ni p$

F|_{U}\dos puntos U\to F(U)

es un difeomorfismo .

Espacios de Banach

Sea y sea espacios de Banach , y sea un barrio abierto de . Suponga que el mapeo es continuamente diferenciable y su diferencial es un isomorfismo lineal acotado . Entonces hay una vecindad abierta y un mapeo continuamente diferenciable tal que para todo en . $X$ $Y$ $tu$ ${\ estilo de visualización 0 \ en X}$ $F\dos puntos U\a Y$ $d_{0}F\dos puntos X\a Y$ ${\ estilo de visualización X \ a Y}$ $V\ni F(0)$ $G\dos puntos V\to X$ $F(G(y))=y$ $y$ $V$

Variedades de Banach

Estas dos líneas de generalización se pueden combinar en el teorema de la función inversa para las variedades de Banach. [una]

Véase también

Teorema de la función implícita

Notas

↑ Lang 1995, Lang 1999, págs. 15-19, 25-29.

Enlaces

Zorich V. A. Análisis matemático, cualquier edición
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático, 3.ª ed., Parte 1, M., 1971
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 5ª ed., M., 1981
Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 2ª ed., M., 1965
Nikolsky S. M. Curso de análisis matemático, 2ª ed., volúmenes 1-2, M., 1975
Pontryagin L. S. Ecuaciones diferenciales ordinarias, 4.ª ed., M., 1974 - § 33
Schwartz L. Análisis, trad. del francés, volumen 1, M., 1972
Sergio Lang . Variedades diferenciales y de Riemann. - Springer, 1995. - ISBN 0-387-94338-2 .
Sergio Lang . Fundamentos de Geometría Diferencial. - Nueva York: Springer, 1999. - (Textos de Posgrado en Matemáticas). - ISBN 978-0-387-98593-0 .
Nijenhuis, Albert. Derivadas fuertes y aplicaciones inversas (inglés) // Amer. Matemáticas. Mensual : diario. - 1974. - vol. 81 , núm. 9 _ - Pág. 969-980 . -doi : 10.2307/ 2319298 .
Renardy, Michael and Rogers, Robert C. Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (italiano) . - Segundo. - Nueva York: Springer-Verlag , 2004. - S. 337-338. — (Textos de Matemática Aplicada 13). — ISBN 0-387-00444-0 .
Rudin, Walter . Principios de análisis matemático (neopr.) . - Tercero. - Nueva York: McGraw-Hill Education , 1976. - S. 221-223. — (Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada). — ISBN 978-0070542358 .