Teorema de Stewart

El teorema de Stewart es un teorema métrico en la planimetría euclidiana .

Ella dice que si un punto está en un lado de un triángulo , entonces $D$ $antes de Cristo$ $A B C$

AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}}+c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy} ,

donde , y (Fig. 1). El segmento AD se llama la ceviana del triángulo ABC . $y=CD$ $x=BD$ ${\ estilo de visualización a = x + y = BC}$

Evidencia

Mediante el producto de vectores

Una de las demostraciones del teorema se basa en la aplicación del álgebra vectorial y, en particular, de las propiedades del producto interior [1] . Representemos un vector cuya longitud se desea, de dos maneras: ${\overrightarrow {AD)),$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD }} }}.

Multiplica la primera ecuación por la longitud y la segunda por $CD$ $BD\dos puntos$

{\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD,

{\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD.

Ahora vamos a sumar las ecuaciones resultantes:

{\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Red}+~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD})+({\ overrightarrow {AC}}\cdot BD~{\color {Rojo}+~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),

donde desde y tienen longitudes iguales y son opuestos. Por lo tanto, el vector mismo es ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,$ ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD$ ${\overrightarrow {CD}}\cdot BD$ ${\overrightarrow {ANUNCIO}}$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.

Su longitud se puede obtener mediante el producto escalar de un vector consigo mismo: ${\overrightarrow {ANUNCIO}}$

\left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC} }\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+{\color {Verde}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.

Además, para expresar en términos de longitudes, necesitamos encontrar $2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}$ $({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\dos puntos$

{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},

BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2},

2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}.

De esto finalmente resulta que

AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC ^{2}}}+({\color {Verde}AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD }{ANTES DE CRISTO}},

$AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.$

Mediante el teorema del coseno

Expresamos AB y AC en términos de los lados restantes de los triángulos ABC y ACD y en términos de los ángulos y adyacentes entre sí: ${\ estilo de visualización \ ángulo ADB}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo ADC,}$

AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,

{\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Verde}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{ \color {Verde}C}=\\&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Verde}+}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Verde}B} .\\\end{alineado en}}

Multiplica la primera ecuación por y la segunda por $corriente continua$ $BD\dos puntos$

{\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2} BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{casos}}

Para deshacernos del coseno del ángulo ABD , sumamos estas igualdades:

AB^{2}DC+AC^{2}BD=(BD^{2}DC+AD^{2}DC)+(AD^{2}BD+DC^{2}BD),

AB^{2}CC+CA^{2}BD-BD^{2}CC-CC^{2}BD=AD^{2}(CC+BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^{2}(DC+BD),

$AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.$

Historia

El teorema lleva el nombre del matemático inglés M. Stewart, quien lo demostró y lo publicó en la obra Some General Theorems (1746, Edimburgo). El teorema fue informado a Stuart por su maestro R. Simson , quien publicó este teorema solo en 1749.

Aplicación

El teorema se puede utilizar para encontrar medianas y bisectrices de triángulos, y un caso especial del teorema de Stewart, cuando ceviana degenera a mediana , es el teorema de Apolonio .
Una consecuencia del teorema de Stewart es también el teorema de Ptolomeo .[ aclarar ]

Generalización

El teorema de Stewart se generaliza a la igualdad de Bretschneider para un cuadrilátero: si un vértice del cuadrángulo cae en el lado del cuadrilátero, entonces el teorema de Stewart se deriva del teorema de Bretschneider .

Notas

↑ Pogorelov A. V. Geometría. - M. : Nauka , 1983. - S. 30-31. — 288 pág.

Literatura

L. S. Atanasyan , V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, I. I. Yudina Geometría. Capítulos adicionales para el libro de texto grado 9. 4ª ed. Editorial Vita-Press, 2004. Pág. 53.
V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , S. A. Shestakov , I. I. Yudina Geometría. Un manual para el estudio profundo de las matemáticas. Editorial FIZMATLIT, 2005. 488 p. págs. 302-303.
Manturov O. V. , Solntsev Yu. K. Diccionario explicativo de términos matemáticos. Una guía para profesores. Bajo la dirección editorial de Ditkin V. A. M.: Education, 1965. 540 p.
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0 .