Teorema de Apolonio

En planimetría , el teorema de Apolonio es una fórmula que expresa la longitud de la mediana de un triángulo en términos de sus lados. En particular, si en algún triángulo ABC la mediana es AD , entonces

Este es un caso especial del teorema de Stewart . Para un triángulo isósceles, el teorema se reduce al teorema de Pitágoras . Del hecho de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan, se puede probar que el teorema es equivalente a la identidad del paralelogramo .

El teorema lleva el nombre de Apolonio de Perga .

Prueba

El teorema se puede probar como un caso especial del teorema de Stewart o usando vectores (ver identidad del paralelogramo ). La siguiente es una prueba independiente usando el teorema del coseno [1] .

Deje que los lados del triángulo a , b , c , y la mediana d se dibujen en el lado a del triángulo. Sea m  la longitud de los segmentos a formados por la mediana, es decir, m es la mitad de a . Sean θ y θ′ los ángulos entre a y d  , donde θ contiene b y θ′ contiene c . Entonces, θ′ es el ángulo adyacente a θ y cos θ′ = −cos θ. El teorema del coseno para θ y θ′ dice:

Sumando estas ecuaciones, obtenemos

según sea necesario.

Véase también

Notas

  1. ↑ Según Godfrey & Siddons, 1908

Fuentes