Teorema de Fermat-Euler

El teorema de Fermat-Euler (otros nombres son el teorema de Navidad de Fermat , el teorema sobre la representación de los números primos como una suma de dos cuadrados ) dice [1] :

Cualquier número primo , donde es un número natural , se puede representar como la suma de los cuadrados de dos números naturales. ${\ estilo de visualización p = 4n + 1}$ $norte$

En otras palabras,

p\in \mathbb {P} ,p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},

donde es un número primo. $pags$

En la literatura extranjera, esta declaración a menudo se llama el teorema de Navidad de Fermat , como se conoció a partir de una carta enviada por Pierre Fermat el 25 de diciembre de 1640.

Ejemplos:

{\ estilo de visualización 5 = 1 ^ {2} + 2 ^ {2}}

, , , , , .

{\ estilo de visualización 13 = 2 ^ {2} + 3 ^ {2}}

{\ estilo de visualización 17 = 1 ^ {2} + 4 ^ {2}}

{\ estilo de visualización 29 = 2 ^ {2} + 5 ^ {2}}

{\ estilo de visualización 37 = 1 ^ {2} + 6 ^ {2}}

{\ estilo de visualización 41 = 4 ^ {2} + 5 ^ {2}}

De este enunciado, utilizando la identidad Brahmagupta , se deduce un enunciado general:

Un número natural se puede representar como una suma de dos cuadrados (enteros) si y solo si no se incluye ningún número primo de la forma en su descomposición en factores primos en un grado impar. $4k+3$

A veces es este hecho el que se entiende por el teorema de Fermat-Euler.

Historia

Esta declaración fue descubierta por primera vez por Albert Girard en 1632 . Pierre Fermat anunció en su carta a Mersenne ( 1640 ) que había probado este teorema, pero no proporcionó una prueba. 20 años después, en una carta a Karkavy (fechada en agosto de 1659), Fermat insinúa que la prueba se basa en el método del descenso infinito .

La primera prueba publicada por el método del descenso infinito fue encontrada entre 1742 y 1747 por Leonhard Euler . Joseph Lagrange , Carl Gauss , Hermann Minkowski , Jakobstahl y Don Zagier dieron pruebas posteriores basadas en otras ideas . La última es una prueba de una oración [2] .

Evidencia

Una de las demostraciones más cortas fue inventada por el matemático alemán Don Zagir [3] :

Involución de conjuntos finitos definida como ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\))$

$(x,y,z)\rightarrow {\begin{casos}(x+2z,z,yxz),&x<yz\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z <x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{casos}}}$

tiene exactamente un punto fijo (que es igual a si , y cuya unicidad se deriva de la simplicidad de ), por lo que contiene un número impar de elementos, lo que significa que la involución también tiene un punto fijo. ${\ estilo de visualización (1,1, k)}$ ${\ estilo de visualización p = 4k + 1}$ $pags$ $S$ ${\ estilo de visualización (x, y, z) \ flecha derecha (x, z, y)}$

También hay una prueba a través del teorema de Wilson , inventado por Axel Thue [4] .

Literatura

Bukhshtab A. A. Teoría de números. - M .: Editorial estatal educativa y pedagógica del Ministerio de Educación de la RSFSR , 1960. - 375 p.
Senderov V., Spivak A. Sumas de cuadrados y enteros gaussianos // Kvant, n.º 3 (1999), págs. 14—22.
Dickson LE Historia de la teoría de los números // vol. II. — cap. VI. Suma de dos cuadrados.

Notas

↑ Senderov V., Spivak A. Sums of squares and Gaussian integers . Archivado el 26 de noviembre de 2019 en Wayback Machine . // Kvant . Archivado el 11 de febrero de 2014 en Wayback Machine . - N° 3 (1999), págs. 14-22.
↑ Una prueba de una oración de que cada número primo 4k+1 es una suma de dos cuadrados
↑ Resumen de la prueba de Don Zagier . Consultado el 13 de mayo de 2011. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Los dos teoremas de Fermat . Consultado el 17 de febrero de 2020. Archivado desde el original el 26 de junio de 2019. (indefinido)