Teorema de Frobenius-Perron

El teorema de Frobenius-Perron es un teorema sobre el valor propio más grande de una matriz cuadrada real con componentes positivos. Este teorema tiene numerosas aplicaciones en la teoría de la probabilidad (ergodicidad de las cadenas de Markov); en la teoría de los sistemas dinámicos; en economía; en demografía; en redes sociales; en los motores de búsqueda.

Probado por Oscar Perron (1907) e independientemente por Georg Frobenius (1912). La idea de utilizar este teorema para determinar el orden de los jugadores en los torneos se debe a Edmund Landau .

Redacción

Sea una matriz cuadrada , con elementos reales estrictamente positivos, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: $A$

el mayor valor propio en valor absoluto es real y estrictamente positivo; $r$
este valor propio es una raíz simple del polinomio característico ;
el vector propio correspondiente tiene (más precisamente, puede elegirse de tal manera que tenga) coordenadas estrictamente positivas, todos los demás vectores propios no tienen esta propiedad; $r$
valor propio satisface las desigualdades $r$

\min_{i}\sum_{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max_{i}\sum_{j}a_{ij}.

Véase también

Operador de Perron-Frobenius

Literatura

Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nichtnegativen Elementen, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akád. sabio : 456–477
Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akád. sabio : 471–476
Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akád. sabio : 514–518
Gantmakher F. R. Theory of Matrices, - M .: Nauka 1966, 576s.