Teorema de Steiner-Poncelet

El teorema de Steiner  - Poncelet  es un teorema del campo de las construcciones geométricas , que establece que cualquier construcción que se puede hacer en un plano con un compás y una regla se puede hacer con una regla si se dibuja al menos un círculo y se marca su centro. .

Redacción precisa

La formulación clásica de la condición del teorema requiere dos explicaciones:

1. En algunos problemas de construcción se requiere construir un círculo con alguna propiedad. ¿En qué sentido se puede construir con una sola regla? En la teoría de las construcciones con una regla, se acostumbra suponer que se construye un círculo si se construye su centro y un punto arbitrario sobre él.

2. La condición del teorema de Steiner-Poncelet supone que no hay curvas adicionales en el plano, de lo contrario, los conjuntos de herramientas "brújula + regla" y "regla + círculo + su centro" pueden no ser equivalentes. Por ejemplo, si se dibuja una parábola en un plano , entonces un ángulo arbitrario se puede dividir en tres partes iguales con un compás y una regla; al mismo tiempo, si se dibuja una parábola, un círculo y su centro en el plano, solo algunos (no todos) los ángulos se pueden dividir en tres partes iguales con una regla.

Materialidad de las condiciones

Si se dibuja un círculo en el plano, pero su centro no está marcado, entonces se pueden realizar muchas construcciones, pero no todas, con una regla. Por ejemplo, es posible construir una tangente a este círculo, pero es imposible construir su centro.

Problema abierto: describe qué construcciones son posibles y cuáles son imposibles usando una sola regla, si se da un círculo en el plano y no se da su centro

Problema abierto: En un plano se dan dos circunferencias que no se cortan. ¿Es posible dibujar una línea recta que conecte sus centros con una regla?

Si no se dibuja un círculo en el plano, entonces el rango de construcciones que se pueden realizar con una regla se reduce aún más; en particular, 4 puntos que se encuentran en el mismo círculo no se pueden construir con una regla. Sin embargo, algunas construcciones no triviales se pueden realizar con una regla, por ejemplo:

• si se dan 5 puntos que se encuentran en el mismo círculo (el círculo en sí no está dibujado), una regla puede construir el sexto punto del mismo círculo;
• si se dan tres puntos , , , en una línea, entonces es posible construir dicho punto en la misma línea que .

Problema abierto: describe qué construcciones con una sola regla son posibles.

Aficionados

El teorema de Steiner-Poncelet sigue siendo cierto incluso si no se da todo el círculo, sino solo su arco (y centro) arbitrariamente pequeño.

Si se dan dos círculos que se intersecan o son tangentes en un plano, entonces con una regla puede realizar cualquier construcción que se pueda hacer con una brújula y una regla.

Si se dan 3 círculos que no se intersecan en el plano que no pertenecen al mismo lápiz, entonces con una regla se puede realizar cualquier construcción que se pueda hacer con un compás y una regla.

Enlaces

• Steiner J. Construcciones geométricas realizadas utilizando una línea recta y un círculo fijo . - M .: Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
• Staudt G. Ch. Geometrie der Lage . — Núremberg, 1847.
• Argunov B.I., Balk M.B., Construcciones geométricas en el plano Uchpedgiz, M., 1957

Véase también

• curva de Steiner
• Teorema de Huygens-Steiner
• teorema de marden
• Teorema de Steiner-Lemus
• Teorema de Steiner (planimetría)
• punto de Steiner
• Triángulo
• Elipse Steiner