Parábola

Parábola

Parábola, su foco y directriz
Excentricidad	${\ estilo de visualización e = 1}$
ecuaciones
${\begin{alineado}&y=x^{2}\\&y=ax^{2}+bx+c\\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F \\&\cuadrángulo (B^{2}-4AC=0)\end{alineado}}$
Otras secciones cónicas
Hipérbola Parábola Elipse Circulo

La parábola ( griego παραβολή - aproximación [1] ) es una curva plana, uno de los tipos de secciones cónicas .

Definición

Los antiguos matemáticos definieron una parábola como el resultado de la intersección de un cono circular con un plano que no pasa por la parte superior del cono y es paralelo a su generatriz (ver figura). En geometría analítica , una definición equivalente es más conveniente: una parábola es un lugar geométrico de puntos en un plano para el cual la distancia a un punto dado ( foco ) es igual a la distancia a una línea recta dada ( directriz ) (ver figura) [ 2] .

Si el foco está en la directriz, entonces la parábola degenera en una línea quebrada .

Junto con la elipse y la hipérbola , la parábola es una sección cónica . Se puede definir como una sección cónica con excentricidad unitaria .

Cumbre

El punto de una parábola más cercano a su directriz se llama vértice de esa parábola. El vértice es el punto medio de la perpendicular que cae del foco a la directriz.

Ecuaciones

La ecuación canónica de una parábola en un sistema de coordenadas rectangulares es :

{\ estilo de visualización \ estilo de texto y ^ {2} = 2px, p> 0}

(o , si los ejes de coordenadas están invertidos).

{\ estilo de visualización \ estilo de texto x ^ {2} = 2py}

El número p se llama parámetro focal, es igual a la distancia del foco a la directriz [3] . Dado que cada punto de la parábola es equidistante del foco y la directriz, también lo es el vértice, por lo que se encuentra entre el foco y la directriz a una distancia de ambos. $\frac{p}{2}$

Conclusión
Ecuación de la directriz PQ: , el foco F tiene coordenadas Por lo tanto, el origen O es el punto medio del segmento CF. Por la definición de una parábola, para cualquier punto M que se encuentre sobre ella, se cumple la igualdad KM = FM . Además, dado que y , entonces la igualdad toma la forma: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\izquierda (\frac{p}{2};0\derecha).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$ ${\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .$ Después de elevar al cuadrado y algunas transformaciones, se obtiene una ecuación equivalente $y^{2}=2px.$

Conclusión

Ecuación de la directriz PQ: , el foco F tiene coordenadas Por lo tanto, el origen O es el punto medio del segmento CF. Por la definición de una parábola, para cualquier punto M que se encuentre sobre ella, se cumple la igualdad KM = FM . Además, dado que y , entonces la igualdad toma la forma: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\izquierda (\frac{p}{2};0\derecha).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$

{\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .

Después de elevar al cuadrado y algunas transformaciones, se obtiene una ecuación equivalente $y^{2}=2px.$

Parábola dada por una función cuadrática

La función cuadrática para es también una ecuación de una parábola y está representada gráficamente por la misma parábola pero, a diferencia de esta última, tiene un vértice no en el origen, sino en algún punto A, cuyas coordenadas se calculan mediante las fórmulas: $y=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$ $y=ax^{2},$

x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a)),\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a)),

donde es el discriminante de un trinomio cuadrado.

D=b^2-4ac

El eje de simetría de una parábola dada por una función cuadrática pasa por el vértice paralelo al eje y. Para a > 0 ( a < 0 ), el foco se encuentra en este eje arriba (debajo) del vértice a una distancia de 1/4 a , y la directriz se encuentra debajo (arriba) del vértice a la misma distancia y es paralela al eje x. La ecuación se puede representar en la forma y en el caso de trasladar el origen al punto A, la ecuación de la parábola se convierte en canónica. Así, para cada función cuadrática, se puede encontrar un sistema de coordenadas tal que en este sistema la ecuación de la parábola correspondiente se represente como canónica. Donde $y=ax^{2}+bx+c$ $y=a(x-x_{\textrm {A)))^{2}+y_{\textrm {A)),$ $p=\frac{1}{|2a|}.$

La ecuación general de una parábola

En general, una parábola no necesita tener un eje de simetría paralelo a uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, como cualquier otra sección cónica, la parábola es una curva de segundo orden y, por tanto, su ecuación en el plano en el sistema de coordenadas cartesianas se puede escribir como un polinomio cuadrático:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

Si una curva de segundo orden dada de esta forma es una parábola, entonces el discriminante compuesto por los coeficientes en los términos más altos es igual a cero. $B ^ 2-4AC$

La ecuación en el sistema polar

Una parábola en coordenadas polares centrada en el foco y dirección cero a lo largo del eje de la parábola (desde el foco hasta el vértice) se puede representar mediante la ecuación $(\rho,\vartheta)$

\rho (1 + \cos \vartheta) = p,

donde p es el parámetro focal (distancia del foco a la directriz o el doble de la distancia del foco al vértice)

Cálculo de los coeficientes de una función cuadrática

Si para la ecuación de una parábola con un eje paralelo al eje y se conocen las coordenadas de tres puntos diferentes de la parábola , entonces sus coeficientes se pueden encontrar de la siguiente manera: $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ estilo de visualización (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),}$

a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{ 2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ b=\frac{y_{ 2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ c=\frac{x_{2}y_{1}-x_ {1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.

Si se dan el vértice y el coeficiente principal , los coeficientes y raíces restantes se calculan mediante las fórmulas: $(x_{0};y_{0})$ $a$

b=-2ax_0

c=ax_0^2+y_0

x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

Propiedades

Una parábola es una curva de segundo orden .
Tiene un eje de simetría llamado eje de parábola . El eje pasa por el foco y el vértice es perpendicular a la directriz.
propiedad óptica. En su foco se recoge un haz de rayos paralelos al eje de la parábola, reflejados en la parábola. Por el contrario, la luz de una fuente que está enfocada se refleja mediante una parábola en un haz de rayos paralelos a su eje. La señal también vendrá en una fase, lo cual es importante para las antenas.
Si el foco de la parábola se refleja con respecto a la tangente, entonces su imagen estará sobre la directriz .
El segmento que une el punto medio de una cuerda arbitraria de la parábola y el punto de intersección de las tangentes a él en los extremos de esta cuerda es perpendicular a la directriz, y su punto medio se encuentra en la parábola.
La parábola es la antipodera de la recta .
Todas las parábolas son similares . La distancia entre el foco y la directriz determina la escala.
La trayectoria del foco de una parábola que rueda a lo largo de una línea recta es la Catenaria [4] .
La circunferencia circunscrita de un triángulo circunscrito a una parábola pasa por su foco, y el punto de intersección de las alturas se encuentra en su directriz

Definiciones relacionadas

Cuando se gira una parábola alrededor del eje de simetría, se obtiene un paraboloide elíptico .

Variaciones y generalizaciones

Los gráficos de una función de potencia con un exponente natural se llaman parábolas de orden [5] [6] . La definición considerada anteriormente corresponde , es decir, a una parábola de 2º orden. $y=x^{n}$ $n>1$ $norte$ ${\ estilo de visualización n = 2,}$

La parábola es también una espiral sinusoidal en ; $\textstyle n=-{\frac {1}{2}}$

Parábolas en el espacio físico

Las trayectorias de algunos cuerpos cósmicos ( cometas , asteroides y otros) que pasan cerca de una estrella u otro objeto masivo ( estrella o planeta ) a una velocidad suficientemente alta tienen la forma de una parábola (o hipérbola ). Estos cuerpos, debido a su gran velocidad, no son captados por el campo gravitatorio de la estrella y continúan su vuelo libre. Este fenómeno se utiliza para maniobras gravitatorias de naves espaciales (en particular, vehículos Voyager ).

Para crear ingravidez en condiciones terrestres, los aviones vuelan a lo largo de una trayectoria parabólica, la llamada parábola de Kepler.

En ausencia de resistencia del aire, la trayectoria de vuelo de un cuerpo en la aproximación de un campo gravitatorio uniforme es una parábola.

Además, los espejos parabólicos se utilizan en telescopios portátiles de aficionados de los sistemas Cassegrain, Schmidt-Cassegrain, Newton, y los espejos auxiliares se instalan en el foco de la parábola, alimentando la imagen al ocular.

Cuando un recipiente con un líquido gira alrededor de un eje vertical, la superficie del líquido en el recipiente y el plano vertical se cruzan a lo largo de una parábola.

La propiedad de una parábola de enfocar un haz de rayos paralelo al eje de la parábola se utiliza en el diseño de reflectores, lámparas, faros, así como telescopios reflectores (ópticos, infrarrojos, radio...), en el diseño de antenas de dirección estrecha ( satélite y otras) necesarias para transmitir datos a grandes distancias, plantas de energía solar y otras áreas.

La forma de parábola se usa a veces en arquitectura para la construcción de techos y cúpulas.

Órbita parabólica y movimiento del satélite a lo largo de ella (animación)
Baloncesto cayendo _
Planta de energía solar parabólica en California , EE.UU.
Trayectorias parabólicas de chorros de agua.
Recipiente giratorio con líquido
Parábola - recta antipodera

Notas

↑ Parábola . Diccionario de palabras extranjeras . Consultado el 19 de junio de 2021. Archivado desde el original el 14 de enero de 2020. (indefinido)
↑ Enciclopedia de Matemáticas, 1984 .
↑ Alexandrov P. S. Parabola // Curso de Geometría Analítica y Álgebra Lineal. - M. : Nauka , 1979. - S. 69-72. — 512 págs.
↑ Savelov A. A. Curvas planas. Sistemática, propiedades, aplicaciones (Guía de referencia) / Ed. A. P. Norden. M.: Fizmatlit, 1960. S. 250.
↑ Bityutskov V.I. Función de potencia // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 pág.
↑ Función de potencia // Diccionario enciclopédico matemático. - M. : Enciclopedia Soviética, 1988. - S. 564 -565. — 847 pág.

Literatura

Akopyan A. A., Zaslavsky A. V. Propiedades geométricas de curvas de segundo orden . - M. : MTSNMO, 2007. - 136 p.
Bronstein I. Parábola // Kvant . - 1975. - Nº 4 . - S. 9-16 .
Markushevich AI Curvas notables . - Gostekhizdat , 1952. - 32 p. - ( Clases populares de matemáticas , número 4).
Parábola // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 191-192. — 1216 pág.

Enlaces

Artículo en el libro de referencia "Matemáticas Aplicadas".
Dibujos animados que ilustran algunas de las propiedades de una parábola.
Información ( inglés ) sobre la conexión de la parábola con la física.
Película educativa sobre la parábola.

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio

Secciones cónicas
Tipos principales	Elipse Hipérbola Parábola
Degenerar	Punto Directo par de lineas rectas
Un caso especial de una elipse	Circulo
Construcción geométrica	sección cónica Bolas de diente de lin diseño de steiner
ver también	constante cónica
Matemáticas • Geometría