Teorema sobre la división de un cuadrado en triángulos de igual área

El teorema de la división de un cuadrado en triángulos de igual área dice que un cuadrado no se puede dividir en un número impar de triángulos de la misma área [1] .

El teorema es famoso por su prueba inesperada utilizando la norma 2-ádica .

Historia

El problema fue planteado por Fred Richman en American Mathematical Monthly en 1965 y resuelto por Paul Monsky en 1970 [2] .

Acerca de la prueba

Usando números ádicos de 2 , se construye una cierta coloración de tres colores de los puntos del cuadrado unitario.

Las principales propiedades de la coloración son las siguientes:

1. El área de cualquier triángulo con vértices de diferentes colores no se puede expresar como una fracción con numerador y denominador impares.
   • En particular, si hubiera una partición de un cuadrado en un número impar de triángulos del mismo tamaño, entonces ninguno de los triángulos tendría vértices de los tres colores.
2. Cualquier línea recta se pinta con exactamente dos colores.

Esta y algunas otras propiedades de esta coloración conducen a una contradicción con el lema de Sperner .

Variaciones y generalizaciones

• -El cubo dimensional se puede dividir en simples del mismo volumen solo si el número de simples es un múltiplo de [3] [4] .
• La prueba del teorema también implica la existencia de cuadriláteros que no se pueden cortar en triángulos de igual área.
• Para un número entero , un -gon regular se puede dividir en triángulos de igual área si y solo si es divisible por [5] .
• Ningún zonogón puede dividirse en un número impar de triángulos de igual área . Este hecho fue probado por el mismo Paul Monsky tras el teorema principal [6] [7] .

Notas

1. ↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler. Un cuadrado y un número impar de triángulos // Pruebas del Libro . — 4to. - Berlín, 2010. - S.  131-138 . - ISBN 978-3-642-00856-6 . -doi : 10.1007 / 978-3-642-00856-6_20 .
2. ↑ P. Monsky. Sobre la división de un cuadrado en triángulos  //  The American Mathematical Monthly  : journal. - 1970. - vol. 77 , núm. 2 . - pág. 161-164 . -doi : 10.2307/ 2317329 . SEÑOR : 0252233 _
3. ↑ Mead, David G. (septiembre de 1979), Dissection of the hypercube into simplexes , Actas de la American Mathematical Society Vol. 76: 302–304 , DOI 10.1090/S0002-9939-1979-0537093-6 
4. ↑ Sperner's Lemma Archivado el 19 de abril de 2016 en Wayback Machine , Moor Xu
5. ↑ EA Kasimatis, Disecciones de polígonos regulares en triángulos de áreas iguales, Geometría computacional y discreta, Agosto de 1989, Volumen 4, Número 4, págs. 375-381
6. ↑ Monsky, Paul (1990), Una conjetura de Stein sobre disecciones planas , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264 
7. ↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry , vol. 25, Monografías Matemáticas de Carus, Cambridge University Press, p. 130 , ISBN 9780883850282 

Literatura

• B. Becker, S. Vostokov, Yu. Ionin. 2-números ádicos  // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .