Teorema sobre el cambio en el impulso del sistema.

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El teorema sobre el cambio en la cantidad de movimiento (cantidad de movimiento) del sistema es uno de los teoremas generales de la dinámica [1] , es una consecuencia de las leyes de Newton . Asocia la cantidad de movimiento con la cantidad de movimiento de las fuerzas externas que actúan sobre los cuerpos que forman el sistema. El sistema al que se refiere el teorema puede ser cualquier sistema mecánico formado por cualquier cuerpo [2] [3] .

Enunciado del teorema

La cantidad de movimiento (cantidad de movimiento) de un sistema mecánico es un valor igual a la suma de las cantidades de movimiento (cantidad de movimiento) de todos los cuerpos incluidos en el sistema. El impulso de las fuerzas externas que actúan sobre los cuerpos del sistema es la suma de los impulsos de todas las fuerzas externas que actúan sobre los cuerpos del sistema.

El teorema del cambio de cantidad de movimiento para un sistema establece [2] [3] :

El teorema permite la generalización al caso de marcos de referencia no inerciales . En este caso, es necesario sumar las fuerzas de inercia portátiles y de Coriolis a las fuerzas externas [4] .

Prueba

Sea el sistema formado por puntos materiales con masas y aceleraciones . Todas las fuerzas que actúan sobre los cuerpos del sistema se pueden dividir en dos tipos: $norte$ $mi}$ ${\ vec a}_{i}$

Las fuerzas externas son fuerzas que actúan sobre la parte de los cuerpos que no están incluidos en el sistema en consideración. La resultante de fuerzas externas que actúan sobre un punto material con el número i se denotará por . $\vec F_i$
Las fuerzas internas son las fuerzas con las que los cuerpos del propio sistema interactúan entre sí. Se denotará la fuerza con que un punto de número k actúa sobre un punto de número i , y la fuerza del i -ésimo punto sobre el k -ésimo punto- . Obviamente, si , entonces ${\vecf}_{{i,k}}$ ${\ vec f}_{{k,i}}$ $yo=k$ ${\vecf}_{{i,k}}=0.$

Usando la notación presentada, escribimos la segunda ley de Newton para cada uno de los puntos materiales considerados en la forma

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.

Teniendo en cuenta que , y sumando todas las ecuaciones de la segunda ley de Newton, obtenemos: $m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d (m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.

La expresión es la suma de todas las fuerzas internas que actúan en el sistema. De acuerdo con la tercera ley de Newton, en esta suma, cada fuerza corresponde a una fuerza tal que y, por lo tanto, se satisface Como toda la suma consta de tales pares, la suma misma es igual a cero. Así, se puede escribir $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vecf}_{{i,k}}$ ${\ vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{yo}.

Usando la designación de la cantidad de movimiento del sistema , obtenemos $\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ ${\vec{P}}$

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Introduciendo en consideración el cambio en la cantidad de movimiento de las fuerzas externas , obtenemos la expresión del teorema sobre el cambio en la cantidad de movimiento del sistema en forma diferencial: $d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt$

d{\vec {P}}=d{\vec {R}.

Así, cada una de las últimas ecuaciones obtenidas nos permite afirmar: el cambio en la cantidad de movimiento del sistema ocurre solo como resultado de la acción de fuerzas externas, y las fuerzas internas no pueden tener ningún efecto sobre este valor.

Habiendo integrado ambas partes de la igualdad obtenida en un intervalo de tiempo tomado arbitrariamente entre algunos y , obtenemos la expresión del teorema sobre el cambio en el momento del sistema en forma integral: $t_{1}$ $t_{2}$

{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),

donde y son los valores de la cantidad de movimiento del sistema en los momentos de tiempo y , respectivamente, y es el impulso de fuerzas externas durante el intervalo de tiempo . De acuerdo con lo anterior y la notación introducida, ${\vec{P}}_{1}$ ${\vec{P}}_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$ ${\vec{R}}(t_{2},t_{1})$ ${\ estilo de visualización t_{2}-t_{1}}$

{\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {F}}_{i}(t)dt.

Ley de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema

Del teorema sobre el cambio en el momento del sistema, se deduce que en ausencia de fuerzas externas (sistema cerrado), así como cuando la suma de todas las fuerzas externas es igual a cero, y . En otras palabras, la relación $d{\vec {P}}=0$ ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0$

{\vec {P}}=const.

Por lo tanto, la conclusión sigue:

Este enunciado es el contenido de la ley de conservación de la cantidad de movimiento del sistema [2] [3] .

Hay casos en que la suma de las fuerzas externas no es igual a cero, pero su proyección en cualquier dirección es igual a cero. Entonces el cambio en la proyección de la cantidad de movimiento del sistema en esta dirección también es igual a cero, es decir, como dicen, la cantidad de movimiento en esta dirección se conserva .

El caso de un sistema con restricciones estacionarias ideales

En los casos en que el objeto de estudio sea únicamente el movimiento del sistema, y las reacciones de los enlaces no sean de interés, se utiliza la formulación del teorema para un sistema con enlaces estacionarios ideales, que se deriva teniendo en cuenta el d' Principio de Alembert-Lagrange .

El teorema sobre el cambio en el momento de un sistema con restricciones estacionarias ideales establece [5] :

“Activas” en relación a las fuerzas (abajo están marcadas con un símbolo en las fórmulas) significa “no siendo reacciones de enlaces”. ${\ estilo de visualización ^ {a}}$

De hecho, según la condición, en cualquier momento todos los puntos del sistema permiten el desplazamiento en paralelo al eje fijo . Sustituyendo en la ecuación general de la dinámica por , obtenemos: ${\ estilo de visualización \ delta x}$ $X$ ${\ estilo de visualización \ delta {\ vec {r}}_ {k}}$ ${\vec{i}}\deltax$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\ vec{i}}\delta x

{\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}} _ {k}){\ vec {i))

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}

finalmente encontramos:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}

En la penúltima ecuación, la suma de las fuerzas activas incluye las fuerzas activas externas e internas. Sin embargo, la suma geométrica de las fuerzas activas internas, como pares iguales y opuestos, es igual a cero, por lo tanto, solo las fuerzas activas externas (un icono adicional del inglés external ) se presentan en la ecuación final. ${\vec{F}}_{k}^{a}$ ${\ estilo de visualización ^ {e}}$

Historia

Sobre la ley de conservación de la cantidad de movimiento, Isaac Newton , en su célebre obra “ Principios matemáticos de la filosofía natural ”, publicada en 1687 , escribió: Lo contrario, no cambia por la interacción de los cuerpos entre sí” [6] . El comentarista, en relación con esta formulación, señala que, aunque considera sólo el caso de cuerpos que se mueven a lo largo de una línea recta, I. Newton, como muestran sus otras declaraciones en el mismo libro, en sus puntos de vista no se limitó a este caso particular. [6] .

Véase también

Notas

↑ Targ S. M. Dynamics // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Enciclopedia soviética , 1988. - T. 1: Aharonov - Efecto Bohm - Largas colas. - S. 616-617. — 707 pág. — 100.000 copias.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. - M. : Escuela Superior, 1995. - S. 280-284. — 416 pág. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Markeev AP Mecánica teórica. - M. : Chero, 1999. - S. 157-159. — 572 pág.
↑ Zhirnov N. I. Mecánica clásica. — Serie: libro de texto para estudiantes de facultades de física y matemáticas de institutos pedagógicos. - M., Ilustración , 1980. - Circulación 28.000 ejemplares. - Con. 260
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Fundamentos de la mecánica clásica. - M.: Escuela Superior, 1999. - S. 221. - ISBN 5-06-003587-5
↑ 1 2 Isaac Newton . Principios matemáticos de la filosofía natural = Philosophia naturalis principia matematica / Traducción del latín y notas de A. N. Krylov . - M. : Nauka, 1989. - S. 45. - 688 p. - (Clásicos de la ciencia). — ISBN 5-02-000747-1 .