Teorema de descomposición de Helmholtz

El teorema de descomposición de Helmholtz es un enunciado sobre la descomposición de un campo vectorial diferenciable arbitrario en dos componentes:

Si la divergencia y el rotacional de un campo vectorial se definen en cada punto de una región abierta finita V del espacio, entonces en cualquier parte de V la función se puede representar como la suma de un campo irrotacional y un campo solenoidal : ${\mathbf{F}}({\mathbf{r}})$ ${\mathbf{F}}_{1}({\mathbf{r}})$ ${\mathbf{F}}_{2}({\mathbf{r}})$

{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})+{\mathbf {F}}_{2}( {\mathbf {r)))

dónde

\operatorname {rot}\;{\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})=0,

\nombre del operador {div}\,{\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})=0

para todos los puntos de la región V. $\mathbf{r}$

En una formulación más popular para todo el espacio, el teorema de Helmholtz dice:

Cualquier campo vectorial , de un solo valor, continuo y acotado en el espacio, puede descomponerse en una suma de campos vectoriales potenciales y solenoidales y representarse como: $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}

dónde $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

Una función escalar se llama potencial escalar, una función vectorial se llama potencial vectorial. [1] . $\Fi$ $\matemáticas {A}$

Enunciado del teorema

Sea F un campo vectorial en R ³ y sea dos veces diferenciable continuamente y decrezca en el infinito más rápido que 1/ r en el caso de un dominio ilimitado. [2] Entonces el campo F se puede representar como la suma de un campo irrotacional (cuyo rotor es cero) y un campo solenoidal (cuya divergencia es cero).

Una de las representaciones posibles para el campo vectorial F en esta forma es la suma del gradiente y el rotacional de dos funciones explícitamente computables, como se escribe a continuación:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})))+\nabla \times ({\mathcal {G}}( \ nabla \times {\mathbf {F))))

donde es el operador newtoniano (si actúa sobre un campo vectorial como ∇ × F , actúa sobre cada componente del mismo). ${\ matemáticas {G}}$

Si F tiene divergencia cero , ∇ F = 0, entonces se dice que F es solenoidal , o sin divergencia, y la expansión de Helmholtz del campo F se reduce a

{\mathbf {F}}=\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times {\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {A}}.

En el caso de tal representación del campo A se le llama vector potencial del campo F. Para un campo solenoidal (es decir, un campo con divergencia cero), siempre es posible construir una función vectorial (vector potencial) de la cual este campo es el rotor. El potencial vectorial para un campo solenoidal dado se determina con un grado de libertad significativo. En particular, sin pérdida de generalidad, se le puede imponer la condición de calibre de Coulomb (o normalización) ∇· A = 0 (un caso especial de un potencial vectorial libre de divergencia; véase también el problema de restaurar una función vectorial a partir de un rizo y divergencia abajo). Puede agregar libremente el gradiente de cualquier función escalar al vector potencial; esto no cambia su curvatura, es decir, el campo solenoidal definido por él (y si la función escalar indicada satisface la ecuación de Laplace, entonces la condición de la calibración de Coulomb tampoco cambia cuando el vector potencial lo satisface).

Si F tiene un rotor cero, ∇× F = 0, entonces F se denomina campo irrotacional o localmente potencial y la expansión de F toma la forma

{\mathbf {F}}=-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})=-\nabla \phi .

En el caso de tal representación del campo φ se llama potencial escalar del campo F . Para un campo irrotacional (es decir, un campo con rotor cero), siempre es posible construir una función escalar (potencial escalar), cuyo gradiente es este campo. El potencial escalar para un campo irrotacional dado se determina hasta una constante aditiva.

En el caso general, F se puede representar por la suma

{\mathbf {F}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\mathbf {A}}

donde el gradiente negativo del potencial escalar es la componente irrotacional del campo, y el rotor del potencial vectorial es la componente solenoidal. La representación de F como la suma de un campo irrotacional y un campo solenoidal no es única, ya que a φ siempre se le puede sumar una función arbitraria ψ que satisfaga la ecuación de Laplace, y a A , una función vectorial H consistente con ψ , que es el resultado de resolver el problema de recuperar una función vectorial de rotor y divergencia (ver más abajo) de acuerdo con las ecuaciones ∇· H = 0, ∇× H = ∇ψ. Tal sustitución no solo cambia los potenciales escalares y vectoriales involucrados en la expansión de Helmholtz, sino que también cambia significativamente el campo irrotacional -∇(φ+ψ) y el campo solenoidal ∇× (A+H) , en cuya suma el campo F se descompone .

Campos definidos por curl y divergencia

Estrechamente relacionado con el teorema de Helmholtz está el problema de reconstruir un campo vectorial a partir de una divergencia y un rotacional, que a veces se denomina problema de Helmholtz .

Supongamos que se dan un campo escalar y un campo vectorial , que son lo suficientemente suaves y se dan en una región acotada o disminuyen más rápido que 1/ r ² en el infinito. Se requiere encontrar un campo vectorial tal que ${\ matemáticas {d}} (x, y, z)$ ${\ matemáticas {C}} (x, y, z)$ ${\ matemáticas {F}} (x, y, z)$

\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\mathbf {d}}

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Al analizar la existencia y unicidad de una solución a un problema, se debe distinguir entre:

problema interno (el rotor, la divergencia y la función vectorial en sí se consideran dentro de un área acotada con un límite suficientemente suave),
un problema externo (el rotor, la divergencia y la función vectorial en sí se consideran para el espacio R ³ con un "agujero" recortado, que tiene un límite bastante suave),
problema para todo el espacio R³ .

El problema interno (siempre que sea solucionable) tiene una solución única si la proyección normal para la función vectorial se da a lo largo del límite de la región . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$

El problema externo (bajo la condición de su solución) tiene una solución única si la proyección normal para la función vectorial se da a lo largo del límite de la región y se impone el requisito de que la función vectorial decrece en el infinito al menos como . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon}}$

El problema para todo el espacio R ³ (bajo la condición de su solucionabilidad) tiene solución única si se impone a la función vectorial el requisito de que decrece en el infinito al menos como . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon}}$

En todos estos casos, la solución al problema de Helmholtz es única si existe para los datos de entrada dados.

Condiciones necesarias para la existencia de una solución

El problema no tiene solución para todos , y : ${\ matemáticas {d}} (x, y, z)$ ${\ matemáticas {C}} (x, y, z)$ ${\mathbf {g(S)))$

De la identidad se sigue que debe cumplirse la condición , es decir, la divergencia del vector debe ser igual a cero. $\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot {\mathbf{C}}=0$ ${\ matemáticas {C}} (x, y, z)$
Para el problema interno , se sigue de la identidad que , es decir, la integral de la condición de contorno sobre la superficie de contorno debe ser igual a la integral de la función sobre el volumen de la región. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV=\iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}} ) )\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ${\mathbf {g(S)))$ $\mathbf {S}$ ${\ matemáticas {d}} (x, y, z)$
Para un problema externo y para un problema dado para todo el espacio R ³, las funciones y deben tender a cero en el infinito bastante rápido junto con la función misma. $\mathbf{d}$ ${\ matemáticas {C}}$

Condiciones suficientes para la existencia y unicidad de una solución

A. Tarea interna : si

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ y
$\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ,

entonces la solución al problema de recuperar el campo de la condición de rotacional , divergencia y frontera existe y es única.

{\ matemáticas {F}} (x, y, z)

{\ matemáticas {C}} (x, y, z)

{\ matemáticas {d}} (x, y, z)

{\mathbf {g(S)))

B. Tarea externa : si

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ y
las integrales y convergen cuando integran sobre un volumen infinito y decrecen en el infinito por al menos como , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\hasta \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon}}$

luego la solución al problema de recuperar el campo del rotor , la divergencia , la condición de contorno y la condición que cae al infinito al menos como , existe y es única.

{\ matemáticas {F}} (x, y, z)

{\ matemáticas {C}} (x, y, z)

{\ matemáticas {d}} (x, y, z)

{\mathbf {g(S)))

{\ matemáticas {F}} (x, y, z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon}}

B. Problema para todo el espacio R ³ : si

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ y
las integrales y convergen cuando integran sobre un volumen infinito y decrecen en el infinito por al menos como , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\hasta \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon}}$

entonces la solución al problema de recuperar el campo del rotacional , la divergencia y la condición que cae al infinito al menos como , existe y es única.

{\ matemáticas {F}} (x, y, z)

{\ matemáticas {C}} (x, y, z)

{\ matemáticas {d}} (x, y, z)

{\ matemáticas {F}} (x, y, z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon}}

La solucionabilidad y la unicidad de la solución del problema de Helmholtz están estrechamente relacionadas con la solucionabilidad y la unicidad de la solución del problema de Neumann para la ecuación de Laplace en el mismo dominio (ver a continuación el algoritmo para construir una solución al problema de Helmholtz).

Descomposición de un campo vectorial en la suma de un campo irrotacional y un campo solenoidal

Usando el problema de restaurar una función vectorial a partir de un rotacional y una divergencia, la expansión de un campo vectorial en la suma de un campo irrotacional y un campo solenoidal se puede realizar de la siguiente manera: ${\ matemáticas {F}} (x, y, z)$

Para una función vectorial dada , se calcula lo siguiente: función función , condición de frontera , si la función vectorial se da para una subregión del espacio con frontera . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {C}}=\nabla \veces {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {d}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb{R} ^{3}$ $S$
Cuando se trata de la tarea interna, luego de la identidad , sigue la condición de compatibilidad . Por lo tanto, todas las condiciones para la compatibilidad de los datos de entrada para el problema y con la condición de frontera se cumplen, el problema es solucionable y tiene una solución única. La función vectorial resultante es un campo irrotacional. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV\equiv \iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F} })\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d}}(x,y,z)\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ $\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}={\mathbf {d}}$ $\nabla \times {\mathbf {F_{1))}=0$ ${\mathbf{g}}({\mathbf{S}})$ ${\mathbf{F_{1))}$
Dado que se cumplen las condiciones de compatibilidad para los datos de entrada del problema y con una condición de contorno cero, el problema es solucionable y tiene una solución única. La función vectorial resultante es un campo solenoidal. $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0$ $\nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C}$ ${\mathbf{F_{2))}$
Considere el problema , con la condición de frontera . Se cumplen las condiciones de compatibilidad de los datos de entrada, el problema es solucionable y tiene una solución única. En este caso, por un lado, la solución a este problema es la función misma , y por otro lado, la solución al mismo problema es la función . Por tanto, se ha construido la representación deseada del campo como la suma de un campo irrotacional y un campo solenoidal. $\nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d}$ $\nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C}$ ${\mathbf{g}}({\mathbf{S}})$ $\mathbf {F}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2))$ $\mathbf {F}$

La representación construida de un campo vectorial como suma de dos campos no es única. Hay campos vectoriales que son tanto irrotacionales (el rotor es cero) como solenoidales (la divergencia es cero). Estos campos son gradientes de funciones escalares que satisfacen la ecuación de Laplace (y solo ellos). Sumando cualquiera de estos campos al primer término y restándolo del segundo término, obtenemos una nueva partición del campo vectorial en la suma de un campo irrotacional y uno solenoidal.

Restauración de la función vectorial del rotor y divergencia

La solución al problema de restaurar una función a partir de una condición rotacional, de divergencia y de contorno se puede construir de la siguiente manera:

1) Para una función dada , se calcula la función , donde el potencial escalar se calcula mediante la fórmula

{\ matemáticas {d}} (x, y, z)

{\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {U}}

{\ matemáticas {U}} (x, y, z)

{\mathbf {U}}(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. El resultado es una función para la cual y ;

{\mathbf{F_{1))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)={\mathbf {d}}(x,y,z)

\nabla \times {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=0

2) Para una función dada , se calcula la función , donde el vector potencial se calcula mediante la fórmula

{\ matemáticas {C}} (x, y, z)

{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=\nabla \times {\mathbf {A}}

{\ matemáticas {A}} (x, y, z)

{\mathbf {A}}(x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. El resultado es una función para la cual y ;

{\mathbf{F_{2))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)={\mathbf {C}}(x,y,z)

3) Estamos buscando una función para la cual , y la proyección normal en el límite de la región se elija de tal manera que satisfaga la condición de límite .

{\mathbf{F_{3))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{3))}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=0

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F_{3}}})|_{{S}}

{\mathbf {F}}={\mathbf {F_{1}}}+{\mathbf {F_{2}}}+{\mathbf {F_{3}}}

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})

Para encontrar tal función , se hace una sustitución , donde el potencial escalar debe satisfacer la ecuación de Laplace . Para la función , se obtiene la condición de contorno de Neumann , y es fácil comprobar que se cumplirá el criterio de resolución del problema de Neumann . Por lo tanto, la función siempre existe, está definida de forma única para la tarea externa y hasta una constante aditiva para la tarea interna. Como resultado, la función que necesitamos siempre existe y es única.

{\mathbf{F_{3))}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {H}}

{\ matemáticas {H}} (x, y, z)

\Delta {\mathbf{H}}=0

{\ matemáticas {H}} (x, y, z)

\left.{\frac {\parcial {\mathbf {H}}}{\parcial {\mathbf {n}}}}\right|_{{S}}={\mathbf {g(S)))- ({\mathbf {n}}\cdot ({\mathbf {F_{1}+F_{2}}}))

{\ matemáticas {H}} (x, y, z)

{\mathbf{F_{3))}(x,y,z)

La función es una solución para la tarea, y la única. Si no se especifica la condición de frontera, la solución al problema son todas las funciones posibles de la forma , donde , es el gradiente de cualquier función que satisfaga la ecuación de Laplace. Si el problema se plantea en todo el espacio R ³, la solución (única) será una función que tenga el comportamiento deseado en el infinito. ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf{F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf{F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf{F_{3))}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)$

Formulación alternativa del teorema de Helmholtz

Como resultado, el teorema de Helmholtz se puede reformular en los siguientes términos. Sea C un campo vectorial solenoidal ( div C=0 ) y d un campo escalar en R ³, que son lo suficientemente suaves y se dan en una región acotada o disminuyen más rápido que 1/ r ² en el infinito. Entonces existe un campo vectorial F tal que

\nabla \cdot {\mathbf {F}}=d

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Si, además, el campo vectorial F se considera en todo el espacio R ³ y se anula cuando r → ∞, entonces F es único. [2] En el caso general, la solución se determina hasta un aditivo aditivo: el gradiente de una función arbitraria que satisface la ecuación de Laplace.

En otras palabras, bajo ciertas condiciones, se puede construir un campo vectorial a partir de su rotacional y divergencia, y cuando el problema está definido en todo el espacio R ³, la solución es única (bajo el supuesto a priori de que el campo desaparece en el infinito bastante rápidamente). Este teorema es de gran importancia en electrostática ; por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell en el caso estático describen campos de este tipo [2] . Como ya se mencionó anteriormente, una de las posibles soluciones:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}({\mathbf {C}})).

Véase también

Notas

↑ Lee, 1965 , pág. cincuenta.
↑ 1 2 3 David J. Griffiths, Introducción a la electrodinámica , Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Literatura

Kochin N. E. — Cálculo vectorial y los comienzos del análisis tensorial
Korn G. A., Korn T. M. Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . - M. : " Nauka ", 1974. - S. 177.
Li Tsung-dao . Métodos matemáticos en física. - M. : Mir, 1965. - 296 p.