Campo de vector potencial

Campo vectorial potencial (o irrotacional ) en matemáticas: campo vectorial , que se puede representar como el gradiente de alguna función escalar de coordenadas. Una condición necesaria para la potencialidad de un campo vectorial en el espacio tridimensional es la igualdad del rotacional del campo a cero. Sin embargo, esta condición no es suficiente: si la región del espacio en consideración no es simplemente conexa , entonces el potencial escalar puede ser una función multivaluada.

En la física que se ocupa de los campos de fuerza , la condición matemática para la potencialidad de un campo de fuerza se puede representar como el requisito de que el trabajo sea igual a cero cuando la partícula, sobre la que actúa el campo, se mueve instantáneamente a lo largo de un circuito cerrado. Este contorno no tiene por qué ser la trayectoria de una partícula que se mueve bajo la acción de fuerzas dadas solamente. Como potencial de campo en este caso, se puede elegir el trabajo sobre el movimiento instantáneo de una partícula de prueba desde algún punto de partida elegido arbitrariamente hasta un punto dado (por definición, este trabajo no depende de la trayectoria del movimiento). Por ejemplo, un campo eléctrico estático es potencial , así como un campo gravitatorio en la teoría newtoniana de la gravedad.

En algunas fuentes , sólo un campo con un potencial independiente del tiempo se considera un campo potencial de fuerzas . Esto se debe al hecho de que el potencial dependiente del tiempo para las fuerzas, en términos generales, no es la energía potencial de un cuerpo que se mueve bajo la acción de estas fuerzas. Como las fuerzas no actúan a la vez, el trabajo de las fuerzas sobre el cuerpo dependerá de su trayectoria y de la velocidad de paso por él. En estas condiciones, la energía potencial en sí misma no está definida, ya que por definición debe depender solo de la posición del cuerpo, pero no del camino. Sin embargo, también para este caso, el potencial para las fuerzas puede existir y puede entrar en las ecuaciones de movimiento de la misma manera que la energía potencial para aquellos casos en los que existe.

Sea  un campo vectorial potencial; se expresa en términos de potencial como

(o en otra entrada ).

Para el campo de fuerzas y el potencial de fuerzas, la misma fórmula se escribe como

,

es decir, para las fuerzas, el potencial es . Cuando U no depende del tiempo, es una energía potencial, y entonces el signo "-" aparece simplemente por definición. De lo contrario, el signo se mantiene en aras de la uniformidad.

Para el campo , se cumple la propiedad de independencia de la trayectoria de la integral :

,

Esto es equivalente a

.

La integral de lazo cerrado se convierte en 0 porque los puntos inicial y final son los mismos. Por el contrario, la fórmula anterior se puede derivar de esta dividiendo un bucle cerrado en dos bucles abiertos.

La condición necesaria se escribe como (o en otra notación ).

En el lenguaje de las formas diferenciales , un campo potencial es una forma 1 exacta, es decir, una forma que es el diferencial (exterior) de una forma 0 (función). El gradiente corresponde a tomar el diferencial externo de la forma 0 (potencial), el rotacional corresponde a tomar el diferencial externo de la forma 1 (campo). La condición necesaria se sigue del hecho de que el segundo diferencial externo es siempre igual a cero: . Las fórmulas integrales se derivan del teorema de Stokes (generalizado) .

Véase también