Teorema de comparación de Sturm

El teorema de comparación de Sturm es un teorema clásico que proporciona un criterio para la no oscilación de las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales lineales .

El nombre de Jacques Charles François Sturm . [1] Mauro Picone obtuvo una versión extendida del teorema que se indica a continuación . [2]

Redacción

Sean p i , q i i = 1, 2 , funciones continuas de valores reales en el intervalo [ a , b ] y sean

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

son dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden en forma autoadjunta con

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

q_{2}(x)\geq q_{1}(x).

Sea u una solución no trivial de (1) con raíces sucesivas en z 1 y z 2 , y sea v una solución no trivial de (2). Entonces se cumple una de las siguientes propiedades:

Hay x en ( z 1 , z 2 ) tales que v ( x ) = 0; o
Las soluciones u y v son proporcionales; es decir, hay un λ en R tal que v ( x ) = λ u ( x ) .

Véase también

El teorema de comparación de Rauch es un resultado fundamental de la geometría de Riemann que se obtiene aplicando el teorema de comparación de Sturm.

Notas

↑ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
↑ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenceenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Escuela Norma. Pisa 11 (1909), 1–141.