Teorema de comparación de Rauch

El teorema de comparación de Rauch es un resultado fundamental de la geometría de Riemann . Probado por Rauch [1] .

El teorema establece que en espacios con mayor curvatura seccional , las geodésicas tienden a converger más rápido. La formulación precisa utiliza campos de Jacobi .

Redacción

Sean y sean variedades riemannianas . Sean y geodésicas con velocidad unitaria tal que no tiene puntos conjugados a lo largo de , y sean campos de Jacobi normales a lo largo de y , tal que y . Supongamos que las curvaturas de la sección y en todas partes satisfacen , donde es un plano de 2 que contiene y es un plano de 2 que contiene . Entonces para todos . $METRO$ ${\tilde {M}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ dos puntos [0, T] \ a M}$ ${\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}$ ${\widetilde {\gamma}}(0)$ ${\tilde {\gamma))$ $J,{\tilde {J))$ $\gama$ ${\tilde {\gamma))$ $J(0)={\tilde {J))(0)=0$ $|J'(0)|=|{\tilde {J))'(0)|$ $METRO$ ${\tilde {M}}$ $K(\Pi )\leqslant {\widetilde {K))({\widetilde {\Pi )))$ $\Pi \subconjunto T_{\gamma (t)}M$ ${\dot {\gamma}}(t)$ ${\tilde {\Pi }}\subconjunto T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}$ ${\dot {\tilde {\gamma ))}(t)$ $|J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|$ ${\ estilo de visualización t \ en [0, T]}$

Consecuencias

Sea una variedad de Riemann y la geodésica no tenga puntos conjugados, entonces: $METRO$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ dos puntos [0, T] \ a M}$

Si tiene curvatura seccional no negativa, entonces para cualquier campo de Jacobi tal que , tenemos $METRO$ $j$ ${\ estilo de visualización J (0) = 0}$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.$
Si la curvatura de la sección es al menos 1, entonces $METRO$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.$
Si la curvatura de la sección es como máximo −1, entonces $METRO$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.$

Véase también

Notas

↑ Rauch, HE Una contribución a la geometría diferencial en los grandes // Ann. Matemáticas.. - 1951. - Vol. 54.—Pág. 38–55. -doi : 10.2307/ 1969309 . . SEÑOR : 42765

Enlaces

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Geometría riemanniana en general, Mir, 1971, p. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducción a la geometría de Riemann. - San Petersburgo: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .