Ecuación diferencial lineal

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 24 de septiembre de 2020; las comprobaciones requieren 3 ediciones .

En matemáticas , una ecuación diferencial lineal tiene la forma

Ly=f

donde el operador diferencial L es lineal , y es una función conocida de y el lado derecho es una función de la misma variable que y . ${\ estilo de visualización y = y (t)}$ ${\ estilo de visualización f = f (t)}$

El operador lineal L se puede considerar en la forma

L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n))}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1} y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y

Además, si , entonces tal ecuación se llama ecuación lineal homogénea , de lo contrario, ecuación lineal no homogénea . $f(t)\equiv 0$

Ecuaciones con coeficientes variables

Una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes variables tiene la forma general

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x)

Ejemplo

La ecuación de Cauchy-Euler , utilizada en ingeniería , es un ejemplo simple de una ecuación diferencial lineal con coeficientes variables

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{ 0}y(x)=0

Ecuación de primer orden

Ejemplo

Solución de ecuación

y'\izquierda(x\derecha)+3y\izquierda(x\derecha)=2

con condiciones iniciales

{\ estilo de visualización y \ izquierda (0 \ derecha) = 2}

Tenemos una solución general.

y=e^{-3x}\left(\int 2e^{3x}\,dx+\kappa \right)

Resolviendo la integral indefinida

y=e^{-3x}\left(2/3e^{3x}+\kappa \right)

Se puede simplificar a

{\displaystyle y=2/3+\kappa e^{-3x))

donde 4/3, después de sustituir las condiciones iniciales en la solución. $\kappa=$

Una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes variables tiene la forma general

y'(x)+f(x)y(x)=g(x)

Las ecuaciones en esta forma se pueden resolver multiplicando por un factor de integración

{\displaystyle e^{\int f(x)\,dx))

La ecuación se escribirá

y'(x)e^{{\int f(x)\,dx}}+f(x)y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=g(x)e ^{{\int f(x)\,dx}}),

Dado que el lado izquierdo forma el diferencial del producto

\left(y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\right)'=g(x)e^({\int f(x)\,dx}}

Lo cual, después de integrar ambas partes, conduce a

y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=\int g(x)e^({\int f(x)\,dx}}\,dx+C~,

y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\,dx+C}{e^{{\int f(x)\,dx }}}}~.

Así, la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden

y'(x)+f(x)y(x)=g(x),

(en particular, con coeficientes constantes) tiene la forma

y(x)=e^{{-{\int {f(x)\,dx))))\left(\int g(x)e^{{\int {f(x)\,dx)) }\,dx+C\derecha)

donde es la constante de integración. $C$

Ejemplo

Tomemos una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes:

{\frac{dy}{dx}}+por=1.

Esta ecuación es de particular importancia para los sistemas de primer orden como los circuitos RC y el amortiguador de masas.[ término desconocido ] sistemas.

En este caso, p ( x ) = b, r ( x ) = 1.

Por lo tanto la solución será:

y(x)=e^{{-bx}}\left(e^{{bx}}/b+C\right)=1/b+Ce^{{-bx}}.

Véase también

método de la función de Green

Ecuación diferencial lineal

Ecuaciones con coeficientes variables

Ejemplo

Ecuación de primer orden

Ejemplo

Véase también

Ecuaciones con coeficientes constantes