Teoría de Chern-Simons

La teoría de Chern-Simons es una teoría cuántica de campo tipo Schwartz topológica tridimensional propuesta por Edward Witten . Nombrado en honor a los geómetras Zhen Xingshen (Chern) y James Simons . La teoría se llama así porque su efecto es proporcional a la forma de Chern-Simons.

En la física de la materia condensada , la teoría de Chern-Simons describe el orden topológico en los estados del efecto Hall cuántico fraccional . Desde un punto de vista matemático, la teoría de Chern-Simons es interesante porque permite calcular invariantes de nudos , como el polinomio de Jones .

La teoría de Chern-Simons está determinada por la elección de un grupo de Lie simple G, llamado grupo de norma de la teoría, y un número k, que entra en acción como factor y se denomina nivel de la teoría. La acción de la teoría depende de la elección del calibre, pero la función generadora de la teoría cuántica de campos está determinada únicamente por un valor entero del nivel.

Teoría clásica

La teoría de Chern-Simons se puede definir en una M múltiple topológica arbitraria de 3 con o sin límite. Dado que esta teoría es del tipo Schwartz, no hay necesidad de introducir una métrica en M .

La teoría de Chern-Simons es una teoría de calibre, es decir, las configuraciones de campo clásicas en una teoría sobre M con un grupo de calibre G están descritas por un paquete G principal sobre M. La forma conexa del haz principal G sobre M se denota por ; toma valores en el álgebra de Lie g . En el caso general, la conectividad A se determina en mapas separados, los valores de A en diferentes mapas están relacionados por transformaciones de calibre. Las transformaciones de calibre se caracterizan por el hecho de que la derivada covariante se transforma en la representación adjunta de G . ${\ estilo de visualización A: M \ a g}$ ${\ estilo de visualización D = d + A}$

Entonces la acción se escribe como:

S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}\mathrm {tr} (A\cuña dA+{\frac {2}{3}}A\cuña A\cuña A )

Introduzcamos la curvatura de la conexión.

F=DA=dA+A\cuña A\en \Omega ^{2}(M,g)

Entonces la ecuación de movimiento toma la forma

{\frac {\delta S}{\delta A))=0={\frac {k}{2\pi }}F

Las soluciones son conexiones planas, que se definen por holonomía en torno a ciclos no contráctiles en M . Las conexiones planas están en correspondencia biunívoca con las clases de equivalencia de homomorfismos del grupo fundamental M al grupo calibre G.

Aunque la acción depende del calibre, el funcional generador en la teoría cuántica está bien definido para el número entero k .

Si M tiene un límite , entonces hay datos adicionales que describen la elección de trivializar el paquete G principal en N. Tal elección define un mapeo de N a G. La dinámica de este mapeo está descrita por el modelo WZW en N con nivel k . $N=\parcial M$

Considere la transformación de calibre de la acción de Chern-Simons. Bajo la transformación de calibre g , la forma de conexión A se transforma como

A_{\mu }\to g^{*}A=g^{-1}A_{\mu }g+g^{-1}\parcial _{\mu }g

Para la acción de Chern-Simons, tenemos

S(g^{*}A)=S(A)+{\frac {k}{4\pi }}\int_{\parcial M}\mathrm {Tr} (A\wedge dg\; g^{-1})-2\pi k\int _{M}g^{*}\sigma

Aquí

\sigma ={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\mathrm {Tr} (\mu \cuña \mu \cuña \mu )

donde es la forma de Maurer-Cartan. ${\ estilo de visualización \ mu = X ^ {-1} dX, X \ en G}$

Obtenemos la suma de la acción definida en el límite. Parece un miembro de Vess-Zumino . A partir del requisito de la invariancia de calibre de los correladores cuánticos, obtenemos la cuantización k , ya que la integral funcional debe determinarse de forma única.

Cuantificación

En la cuantización canónica de la teoría de Chern-Simons, se define un estado en cada superficie bidimensional . Como en cualquier teoría cuántica de campos, los estados corresponden a rayos en el espacio de Hilbert. Dado que estamos tratando con una teoría de campo topológica de tipo Schwartz, no tenemos un tiempo asignado predeterminado, por lo tanto , una superficie de Cauchy arbitraria. ${\ estilo de visualización \ Sigma \ subconjunto M}$ $\Sigma$

La codimensión es igual a 1, por lo que podemos cortar y obtener una variedad con un límite, en el que la dinámica clásica se describe mediante el modelo de Wess-Zumino-Novikov-Witten. Witten demostró que esta correspondencia también se conserva en la mecánica cuántica. Es decir, el espacio de estado de Hilbert es siempre de dimensión finita y se puede identificar con el espacio de bloques conformes del modelo -WZW- con nivel . Los bloques conformes son factores localmente holomorfos y antiholomórficos cuyos productos se suman a las funciones de correlación de una teoría de campo conforme bidimensional. $\Sigma$ $METRO$ $\Sigma$ $GRAMO$ $k$

Por ejemplo, si , entonces el espacio de Hilbert es unidimensional y solo hay un estado. Cuando los estados corresponden a representaciones integrables del nivel de una extensión afín del álgebra de Lie . No se requiere la consideración de superficies de un tipo superior para resolver la teoría de Chern-Simons. ${\ estilo de visualización \ Sigma = S ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma = T ^ {2}}$ $k$ $gramo$

Observables

Los observables en la teoría de Chern-Simons son funciones de punto de operadores invariantes de calibre, más a menudo considerados bucles de Wilson . El bucle de Wilson es la holonomía alrededor del anillo , calculada en alguna representación del grupo . Dado que consideraremos los productos de los bucles de Wilson, podemos considerar que las representaciones son irreducibles. $norte$ $METRO$ $R$ $GRAMO$

{\displaystyle \langle W_{R}(K)\rangle ={\text{Tr))_{R}\,P\,\exp {i\oint _{K}A))

Aquí , es la forma 1 de la conexión, tomamos el valor principal de la integral de Cauchy, es el exponente ordenado a lo largo del camino. $A$ $P\exp$

Considere un enlace en , que es un conjunto de ciclos desconectados. De particular interés es la función de correlación de puntos, que es el producto de los bucles de Wilson en la representación fundamental alrededor de estos ciclos. Esta función de correlación se puede normalizar dividiéndola por una función de punto 0 (suma estadística ). $L$ $METRO$ $yo$ $yo$ $GRAMO$ $Z$

Si es una esfera, entonces tales funciones normalizadas son proporcionales a los polinomios conocidos (invariantes) de los nudos. Por ejemplo, en , la teoría de Chern-Simons con nivel da $METRO$ ${\ estilo de visualización G = U (N)}$ $k$

{\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))))\times \;{\mbox{polinomio HOMFLY))

En , el polinomio de HOMFLY se convierte en el polinomio de Jones . En el caso se obtiene el polinomio de Kauffman . $N=2$ ${\ estilo de visualización SO (N)}$

Literatura

S.-S. Chern y J. Simons, Formas características e invariantes geométricos , Annals Math. 99 , 48-69 (1974). (Se requiere suscripción para el acceso en línea)
Edward Witten , Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones , Commun.Math.Phys.121:351,1989.
Edward Witten , Teoría de Chern-Simons como teoría de cuerdas , Prog.Math.133:637-678,1995.
Marcos Marino, Teoría de Chern-Simons y cadenas topológicas , Rev.Mod.Phys.77:675-720,2005.
Marcos Marino, Teoría de Chern-Simons, modelos matriciales y cadenas topológicas (Serie internacional de monografías sobre física), OUP, 2005.
Anton Nazarov, Modelos WZW y Teoría de Chern-Simons (enlace inaccesible)