Polinomio de Jones
El polinomio de Jones es un nudo polinomial invariante que asigna a cada nudo o enlace un polinomio de Laurent en una variable formal con coeficientes enteros. Construido por Vaughn Jones en 1984 .
Definición a través del corchete de Kauffman
Para un enlace orientado dado , se define un polinomio auxiliar:
,
donde está el número de torsión del diagrama , y es el corchete de Kauffman . El número de torsión se define como la diferencia entre el número de cruces positivos y el número de cruces negativos , y no es un nudo invariante: no se conserva bajo las transformaciones de Reidemeister tipo I.
es el nudo invariante, ya que es invariante bajo las tres transformaciones de Reidemeister del diagrama . La invariancia bajo las transformaciones de tipo II y III se deriva de la invariancia del soporte de Kauffman y el número de torsión bajo estas transformaciones. Por el contrario, para una transformación de tipo I, el corchete de Kauffman se multiplica por , lo que se compensa exactamente con un cambio de +1 o −1 en el número de torsión .
El polinomio de Jones se determina a partir de la sustitución:
,
la expresión resultante es un polinomio de Laurent en la variable .
Definición en términos de representaciones de grupos de trenzas
La definición original de Jones utiliza el álgebra de operadores y la noción de una traza de representación de trenza que se originó en la mecánica estadística ( el modelo de Potts ).
El teorema de Alexander afirma que cualquier eslabónes un cierre de una trenza conhilos, en relación con esto, es posible definir una representacióndel grupo de trenzasconhilos en el álgebra de Temperley-Lieb con coeficientes dey. El generador estándar de la trenzaes, donde están los generadores estándar del álgebra de Temperley-Lieb. Para lapalabratrenzada, donde está la traza de Markov , el resultado es, donde está el polinomio entre paréntesis.
![{\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471c9cc58033dff68253c7995a3cb3c9753af5f1)
La ventaja de este enfoque es que al elegir representaciones análogas en otras álgebras, como la representación de -matrices, uno puede llegar a generalizaciones de invariantes de Jones (por ejemplo, tal es [1] el concepto del polinomio -paralelo de Jones).
Definición en términos de relaciones de madeja
El polinomio de Jones se define únicamente por el hecho de que es igual a 1 en cualquier diagrama de nudo trivial y por la siguiente relación de piel :
,
где , , и — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:
Propiedades
El polinomio de Jones tiene muchas propiedades maravillosas [2] [3] .
Para enlaces con un número impar de componentes (en particular, para nudos), todas las potencias de la variable en el polinomio de Jones son enteras, y para enlaces con un número par de componentes, son semienteros.
El polinomio de Jones de la suma de nodos conexos es igual al producto de los polinomios de Jones de los términos, es decir:
.
El polinomio de Jones de una suma inconexa de nudos es:
.
El polinomio de Jones de la unión de un eslabón y un nudo trivial es:
.
Para un enlace orientado obtenido a partir de un enlace orientado dado reemplazando la orientación de alguna componente por la opuesta, tenemos:
,
donde es el coeficiente de enlace del componente y .
El polinomio de Jones no cambia cuando se invierte el nodo, es decir, cuando se invierte la dirección del bypass (cambio de orientación).
La imagen simétrica especular del enlace tiene un polinomio de Jones, que se obtiene reemplazando con (la propiedad se verifica fácilmente usando la definición en términos del corchete de Kauffman).
Si es un nodo, entonces:
.
El valor del polinomio de Jones para el vínculo con el número de componentes del vínculo en el punto 1:
.
El polinomio de Jones del nudo -tórico:
.
Temas abiertos
En 2003 se construyó una familia de enlaces no triviales con el polinomio de Jones igual al polinomio de Jones del enlace trivial [4] , mientras que no se sabe si existe un nudo no trivial cuyo polinomio de Jones sea el mismo del nudo trivial. En 2017, se construyó una familia de nudos no triviales con intersecciones para los cuales el polinomio de Jones es congruente con el módulo unitario [5] .
Variaciones y generalizaciones
- La teoría de Chern-Simons describe el orden topológico en los estados del efecto Hall cuántico fraccional. Desde un punto de vista matemático, la teoría de Chern-Simons es interesante porque permite calcular invariantes de nudos, como el polinomio de Jones.
- En 2000, Mikhail Khovanov construyó un complejo de cadenas para nudos y eslabones y demostró que la homología de este complejo es un nudo invariante (la homología de Khovanov ). Esta teoría de la homología es una categorización del polinomio de Jones, es decir, el polinomio de Jones es la característica de Euler para esta homología.
- El polinomio HOMFLY es un invariante de nudo y enlace similar.
Notas
- ↑ Murakami J., La versión paralela de polinomios invariantes de enlaces Archivado el 2 de junio de 2016 en Wayback Machine , Osaka J. Math., 1989.
- ↑ Jones, VFR, Un invariante polinomial para nudos mediante álgebras de von Neumann . Archivado el 19 de enero de 2022 en Wayback Machine , Bull. amer Matemáticas. Soc. 12:103-111, 1987.
- ↑ Duzhin S. V., Chmutov S. V. Nudos y sus invariantes , Mat. iluminación, 1999, número 3, 59-93.
- ↑ Eliahou S., Kauffman L., Thistlethwaite M. Familias infinitas de vínculos con el polinomio trivial de Jones, 2003. . Consultado el 1 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 6 de mayo de 2021.
- ↑ Eliahou S., Fromentin J. A Remarkable 20-crossing Tangle, 2017. . Consultado el 1 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 5 de octubre de 2021.
Literatura
- Prasolov V. V. , Sosinsky A. B. Nudos, eslabones, trenzas y variedades tridimensionales . - M .: MTSNMO , 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .