Corriente de probabilidad

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En mecánica cuántica , la corriente de probabilidad (o flujo de probabilidad ) describe el cambio en la función de densidad de probabilidad .

Definición

La corriente de probabilidad se define como $\ vec j$

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\ derecha)={\frac \hbar m}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi )

y satisface la ecuación de continuidad mecánica cuántica

{\frac {\parcial \rho }{\parcial t))+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0

con una densidad de probabilidad dada por $\rho$

{\ estilo de visualización \ rho =|\ Psi |^{2))

La ecuación de continuidad es equivalente a la siguiente ecuación integral:

{\frac {\parcial }{\parcial t))\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec j}\cdot {\vec {dS }}=0

donde es el volumen y es el límite del volumen . Esta es la ley de conservación de la densidad de probabilidad en la mecánica cuántica. $V$ $S$ $V$

En particular, si es la función de onda de una partícula individual, la integral en el primer término de la ecuación anterior (sin la derivada temporal) es la probabilidad de obtener un valor dentro de cuando se mide la posición de la partícula. El segundo término es la tasa a la que la probabilidad "fluye" del volumen . $\psi$ $V$ $V$

En general, la ecuación dice que la derivada temporal de la probabilidad de encontrar una partícula en es igual a la tasa a la que la probabilidad "fluye" desde . $V$ $V$

Ejemplos

Onda plana

Corriente de probabilidad que se puede asociar con una onda plana

\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}

se escribirá en la forma

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}-e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^ {{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec k}}{m}}.

Este es el producto del cuadrado de la amplitud de la onda y la velocidad de la partícula:

{\vec v}={\frac {{\vec p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec k}}{m}}

Tenga en cuenta que la corriente de probabilidad es distinta de cero aunque las ondas planas son estados estacionarios y, por lo tanto,

{\frac{d|\Psi |^{2}}{dt}}=0

En todas partes. Esto demuestra que la partícula puede moverse incluso si su densidad de probabilidad espacial no tiene una dependencia temporal explícita.

Partícula en una caja

Para una caja unidimensional con paredes infinitas de longitud ( ), las funciones de onda se escribirán en la forma $L$ $0<x<L$

\Psi _{n}={\sqrt {{\frac {2}{L}}}}\sin \left({\frac {n\pi}}{L}}x\right)

y cero a la derecha e izquierda del foso. Entonces la corriente se escribirá en la forma

j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\parcial \Psi _{n}}{\parcial x}}-\ Psi _{n}{\frac {\parcial \Psi _{n}^{*}}{\parcial x}}\right)=0

porque el $\Psi_{n}=\Psi_{n}^{*}.$

Derivación de la ecuación de continuidad

En esta sección, la ecuación de continuidad se deriva de la definición de corriente de probabilidad y los principios básicos de la mecánica cuántica.

Supongamos que es la función de onda de una partícula, dependiendo de tres variables , y ). Después $\psi$ $X$ $y$ $z$

P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV

define la probabilidad de medir la posición de la partícula en el volumen V . La derivada temporal se escribirá en la forma

{\frac {dP}{dt}}={\frac {\parcial }{\parcial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V} \left({\frac {\parcial \Psi }{\parcial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\parcial \Psi ^{*}}{\parcial t}}\right)dV

donde la última igualdad implica que la derivada parcial con respecto al tiempo puede reducirse a la integral (la forma del volumen no depende del tiempo). Para una mayor simplificación, considere la ecuación de Schrödinger no estacionaria $V$

i\hbar {\frac {\parcial \Psi }{\parcial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi

y utilícelo para extraer la derivada temporal de : $\psi$

{\frac {\parcial \Psi }{\parcial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\ psi

El resultado de sustituir en la ecuación anterior por da ${\frac{dP}{dt))$

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\ Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV

Ahora, después de la transición a la divergencia.

\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)={\vec \nabla }\Psi ^{ *}\cdot {\vec \nabla }\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec \nabla }\Psi \cdot {\vec \nabla }\Psi ^{*} -\Psi{\vec\nabla}^{2}\Psi^{*}

y dado que los términos primero y tercero se cancelan:

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec \nabla }\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\ vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)dV

Si ahora recordamos la expresión for y notamos que la expresión sobre la que actúa el operador nabla es entonces escribimos la expresión $PAGS$ $\ vec j$

\int \limits _{V}\left({\frac {\parcial |\Psi |^{2}}{\parcial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}\right)dV =0

que es la forma integral de la ecuación de continuidad. La forma diferencial se deriva del hecho de que la ecuación anterior se cumple para todos los volúmenes y se puede omitir la integral: $V$

{\frac {\parcial |\Psi |^{2}}{\parcial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0.