Triángulo de Kepler

El triángulo de Kepler  es un triángulo rectángulo cuyos lados forman una progresión geométrica . En este caso, la razón de las longitudes de los lados del triángulo de Kepler está relacionada con la proporción áurea

que se puede escribir como : , o aproximadamente 1 : 1.272 : 1.618 [1] Los cuadrados de los lados de este triángulo (ver figura) forman una progresión geométrica correspondiente a la proporción áurea.

Los triángulos con esta relación de aspecto recibieron su nombre del matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), quien fue el primero en demostrar que en tales triángulos la relación entre la longitud del cateto corto y la hipotenusa es igual a la proporción áurea [ 2] . Por lo tanto, el triángulo de Kepler combina dos conceptos matemáticos clave: el teorema de Pitágoras y la proporción áurea , sobre los cuales Kepler señaló:

Hay dos tesoros en geometría: uno es el teorema de Pitágoras, el otro es la división de una línea en la proporción áurea. El primero lo podemos comparar con una masa de oro, el segundo lo podemos llamar una piedra preciosa. johannes kepler

Algunas fuentes afirman que la relación de aspecto de las famosas pirámides de Giza se aproxima al triángulo de Kepler [4] [5] .

Consecuencia

El hecho de que un triángulo con lados y forma un triángulo rectángulo se deriva directamente de la reescritura del trinomio cuadrado para la proporción áurea :

en la forma del teorema de Pitágoras :

Relación con la media aritmética, la media geométrica y la media armónica

Para los números reales positivos a y b, su media aritmética , media geométrica y media armónica son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo si y solo si el triángulo es un triángulo de Kepler [6] .

Construcción del triángulo de Kepler

El triángulo de Kepler se puede construir usando un compás y una regla a través de la construcción de la proporción áurea de la siguiente manera:

1. Construye un cuadrado sencillo.
2. Dibuja una línea desde el centro de un lado del cuadrado hasta la esquina opuesta.
3. Use esta línea como el radio del arco que define la altura del rectángulo.
4. Complemento de la proporción áurea
5. Usa el lado largo del rectángulo de la proporción áurea como el radio del arco que, cruzando el lado opuesto del rectángulo, define la longitud de la hipotenusa del triángulo de Kepler.

El mismo Kepler construyó este triángulo de manera diferente. En una carta a su antiguo maestro, el profesor Michael Möstlin, escribió: “Si se construye un triángulo rectángulo sobre una recta dividida en extrema y media razón de tal manera que el ángulo recto esté en el punto de división, entonces el lado más pequeño será igual al segmento más grande de las líneas divididas". [2] .

Coincidencia matemática

Tomemos un triángulo de Kepler con lados y consideremos:

• el círculo que lo rodea, y
• un cuadrado con un lado igual al lado medio del triángulo.

Entonces el perímetro del cuadrado ( ) y la circunferencia ( ) coinciden con una precisión del 0,1%.

Esta es una coincidencia matemática . No es posible que estos cuadrados y círculos tengan la misma longitud de perímetro, ya que entonces podría resolverse el clásico problema irresoluble de cuadratura de círculos . En otras palabras, ya que  es un número trascendental .

Notas

1. ↑ Roger Herz-Fischler. La forma de la Gran Pirámide  (neopr.) . — Prensa de la Universidad Wilfrid Laurier, 2000. - ISBN 0-88920-324-5 . Archivado el 7 de diciembre de 2013 en Wayback Machine .
2. ↑ 1 2 Livio, Mario. La proporción áurea: la historia de Phi, el  número más asombroso del mundo . — Nueva York: Libros de Broadway, 2002. - Pág  . 149 . — ISBN 0-7679-0815-5 .
3. ↑ Karl Fink, Wooster Woodruff Beman y David Eugene Smith. Una breve historia de las matemáticas: una traducción autorizada del libro del Dr. Geschichte der Elementar-Mathematik de  Karl Fink . - 2nd ed.. - Chicago: Open Court Publishing Co, 1903. Archivado el 7 de julio de 2014 en Wayback Machine .
4. ↑ Lo mejor de Astraea: 17 artículos sobre ciencia, historia y  filosofía . - Astrea Web Radio, 2006. - ISBN 1-4259-7040-0 .
5. ↑ La cuadratura del círculo, Paul Calter (enlace no disponible) . Consultado el 7 de mayo de 2014. Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2011. (indefinido) 
6. ↑ Di Domenico, Angelo, "La proporción áurea, el triángulo rectángulo, y las medias aritmética, geométrica y armónica", The Mathematical Gazette 89, 2005.