Ecuación de Kepler

La ecuación de Kepler describe el movimiento de un cuerpo a lo largo de una órbita elíptica en el problema de dos cuerpos y tiene la forma:

Ee\,\sin E=M

donde es la anomalía excéntrica , es la excentricidad orbital , y es la anomalía media . $mi$ $mi$ $METRO$

Esta ecuación fue obtenida por primera vez por el astrónomo Johannes Kepler en 1619 . Juega un papel importante en la mecánica celeste .

Variantes de la ecuación de Kepler

La ecuación de Kepler en su forma clásica describe el movimiento solo a lo largo de órbitas elípticas, es decir, en . El movimiento a lo largo de órbitas hiperbólicas obedece a la ecuación hiperbólica de Kepler , que es similar en forma a la clásica. El movimiento en línea recta se describe mediante la ecuación radial de Kepler . Finalmente, la ecuación de Barker se usa para describir el movimiento en una órbita parabólica . Cuando las órbitas no existen. ${\ estilo de visualización 0 \ leq e <1}$ ${\ estilo de visualización (e> 1)}$ ${\ estilo de visualización (e = -1)}$ ${\ estilo de visualización (e = 1)}$ ${\ estilo de visualización e <0}$

Un problema que conduce a la ecuación de Kepler

Considere el movimiento de un cuerpo en órbita en el campo de otro cuerpo. Encontremos la dependencia de la posición del cuerpo en órbita con el tiempo. De la segunda ley de Kepler se sigue que

r^{2}{\frac {d\vartheta}{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)} }

Aquí está la distancia del cuerpo al centro gravitatorio, es la verdadera anomalía es el ángulo entre las direcciones al pericentro de la órbita y al cuerpo, es el producto de la constante gravitacional y la masa del cuerpo gravitatorio, es el semieje mayor de la órbita. A partir de aquí es posible obtener la dependencia del tiempo de movimiento a lo largo de la órbita a partir de la anomalía verdadera: $r$ $\vartheta$ ${\ estilo de visualización \ mu = GM_ {0}}$ $a$

t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)))}\int \limits_{0}^{\ vartheta }r^{2}d\vartheta

Aquí está el tiempo de paso por el periapsis. $t_0$

La solución adicional del problema depende del tipo de órbita a lo largo de la cual se mueve el cuerpo.

Órbita elíptica

La ecuación de la elipse en coordenadas polares tiene la forma

{\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta))))

Entonces la ecuación del tiempo toma la forma

{\displaystyle t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2)){\sqrt {\mu ))} \int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2))))

Para sacar la integral, introduce la siguiente sustitución:

\operatorname {tg} {\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {E {2}}

El valor de E se llama anomalía excéntrica . Gracias a esta sustitución, la integral se toma fácilmente. Resulta la siguiente ecuación:

t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(Ee\sin E\right)

El valor es la velocidad angular media del cuerpo en órbita. En mecánica celeste, el término movimiento medio se usa para esta cantidad . El producto del movimiento promedio y el tiempo se denomina anomalía promedio M. Este valor es el ángulo en el que giraría el radio vector del cuerpo si se moviera en una órbita circular con un radio igual al semieje mayor de la órbita del cuerpo. ${\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a^{3}}}}}$

Así, obtenemos la ecuación de Kepler para el movimiento elíptico:

Ee\sin E=M

Órbita hiperbólica

La ecuación de una hipérbola en coordenadas polares tiene la misma forma que la ecuación de una elipse. Por lo tanto, la integral se obtiene de la misma forma. Sin embargo, la anomalía excéntrica no se puede utilizar en este caso. Usamos la representación paramétrica de la hipérbola: , . Entonces la ecuación de la hipérbola toma la forma $x=-a\,{\mathrm {ch}}\,H$ $y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H$

r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)

y la relación entre y $\vartheta$ $H$

\mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{ \frac{H}{2}}

Gracias a esta sustitución, la integral toma la misma forma que en el caso de una órbita elíptica. Después de realizar las transformaciones, obtenemos la ecuación hiperbólica de Kepler:

M=e\,{\mathrm {sh}}\,HH

La cantidad se denomina anomalía excéntrica hiperbólica . Como , entonces la última ecuación se puede transformar de la siguiente manera: $H$ ${\mathrm {sh}}\,H=-i\sin {iH}$

M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(Ee\sin E\right)

A partir de aquí está claro que . ${\ estilo de visualización E = iH}$

Órbita parabólica

La ecuación de la parábola en coordenadas polares tiene la forma

$r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}$

donde es la distancia al periapsis. Segunda ley de Kepler para el caso de movimiento a lo largo de una trayectoria parabólica ${\ estilo de visualización r_ {\ pi))$

$r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}$

¿De dónde sacamos la integral que determina el tiempo de movimiento?

${\displaystyle t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2))))$

Introducimos un cambio trigonométrico universal

$z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2)),\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

y transformar la integral

$t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits_{0} ^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\ cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\ pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\ ,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{ 3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta}{2}}}$

finalmente conseguimos

$t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,} }{\frac {\vartheta}{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta}{2}}\right)$

La última relación se conoce en mecánica celeste como la ecuación de Barker .

Órbita radial

Una órbita se llama órbita radial, que es una línea recta que pasa por un centro de atracción. En este caso, el vector velocidad está dirigido a lo largo de la trayectoria y no hay componente transversal [1] , lo que significa

${\ Displaystyle v = {\ frac {dr} {dt}}}$

Encontraremos la relación entre la posición del cuerpo en órbita y el tiempo a partir de consideraciones energéticas

${\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}$

$v^{2}={\frac{2\mu}{r}}+h$

es la integral de energía. Por lo tanto tenemos la ecuación diferencial

${\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt ({\frac {2\mu}{r}}+h}}$

Separando las variables en esta ecuación, llegamos a la integral

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{ \cfrac {2\mu }{r}}+h}}}$

cuyo método de cálculo está determinado por el signo de la constante . Hay tres casos $h$

${\ estilo de visualización h <0}$ órbita elíptica rectilínea

Corresponde al caso en que la energía mecánica total del cuerpo es negativa, y habiéndose movido a cierta distancia máxima del centro de atracción, comenzará a moverse en la dirección opuesta. Esto es análogo a moverse en una órbita elíptica. Para calcular la integral, introducimos el reemplazo

${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsen}} {\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsen}}{\sqrt {\frac {-h\ ,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du$

calcular la integral

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits_{ u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}} }\izquierda.\izquierda(2\,u-\sin 2u\derecha)\derecha|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Suponiendo que escribimos el resultado ${\ estilo de visualización E = 2 \, u}$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h))))\left(E_{1}-E_ {0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\right)$

tomando como periápside condicional (inalcanzable en la realidad) , y la dirección de la velocidad inicial desde el centro de atracción, obtenemos la llamada ecuación radial de Kepler, que relaciona la distancia desde el centro de atracción con el tiempo de movimiento ${\ estilo de visualización r_ {0} = 0}$

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h))))\left(E-\sin E\right)$

donde _ ${\displaystyle E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu ))))$

${\ estilo de visualización h = 0}$ órbita parabólica rectilínea

Un cuerpo lanzado radialmente se moverá al infinito desde el centro de atracción, teniendo una velocidad igual a cero en el infinito. Corresponde al caso de movimiento con velocidad parabólica. El caso más simple, porque no requiere reemplazo en la integral

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\ cfrac {2\mu }{r))))={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_ {1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\derecha)$

Tomando las condiciones iniciales del primer caso, obtenemos la ley de movimiento explícita

$r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac { 2}{3}}$

$h>0$ órbita hiperbólica rectilínea

Corresponde a la salida del centro de atracción hacia el infinito. En el infinito, el cuerpo tendrá una rapidez, . Presentamos un reemplazo $v_{\infty}={\sqrt {h))$

${\frac {2\,\mu }{r))={\frac {h}({\rm {sh))^{2}u)),\quad u_{0}={\rm {arco}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arco}}{\sqrt {\frac { h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\ rm {ch}}u\,du$

y calcula la integral

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{h{\sqrt {h))))\int \limits _{u_{ 0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \ límites _ {u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt { h))))\izquierda.\izquierda({\rm {sh}}2u-2\,u\derecha)\derecha|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Suponiendo que obtenemos ${\ estilo de visualización H = 2 \, u}$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{h{\sqrt {h))))\left({\rm {sh))\ ,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)$

Suponiendo que las condiciones iniciales sean similares al primer caso, tenemos la ecuación radial hiperbólica de Kepler

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{h{\sqrt {h))))\left({\rm {sh))HH\right)$

dónde ${\displaystyle H=2\,{\rm {arcsh)){\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu ))))$

Solución de la ecuación de Kepler

La solución de la ecuación de Kepler en los casos elíptico e hiperbólico existe y es única para cualquier M real [2] . Para una órbita circular (e \u003d 0), la ecuación de Kepler toma la forma trivial M \u003d E. En general, la ecuación de Kepler es trascendental . No se resuelve en funciones algebraicas. Sin embargo, su solución se puede encontrar de varias maneras utilizando series convergentes . La solución general de la ecuación de Kepler se puede escribir usando la serie de Fourier :

E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n))J_{n}\left(n\,e\,\right)\cdot \sin{nM}

dónde

J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\ derecha)dE

es la función de Bessel .

Esta serie converge cuando el valor de ε no supera el valor del límite de Laplace .

Métodos aproximados

Entre los métodos numéricos para resolver la ecuación de Kepler, se suele utilizar el método de punto fijo (“método de iteración simple”) y el método de Newton [3] . Para el caso elíptico en el método del punto fijo, se puede tomar M como el valor inicial de E 0 , y las aproximaciones sucesivas tienen la siguiente forma [2] :

E_{n+1}=e\,\sen E_{n}+M

En el caso hiperbólico, el método del punto fijo no se puede utilizar de esta manera, sin embargo, este método permite derivar para tal caso otra fórmula de aproximación (con un seno inverso hiperbólico) [2] :

H_{n+1}=\operatorname {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{e))

Notas

↑ Lukyanov, Shirmin, 2009 , pág. 70-71.
↑ 1 2 3 Balk M. B. Solución de la ecuación de Kepler // Elementos de la dinámica de los vuelos espaciales. - M. : Nauka , 1965. - S. 111-118. — 340 s. — (Mecánica de los vuelos espaciales).
↑ Balk M. B., Demin V. G., Kunitsyn A. L. Solución de la ecuación de Kepler // Colección de tareas sobre mecánica celeste y cosmodinámica. — M .: Nauka , 1972. — S. 63. — 336 p.

Literatura

D. E. Okhotsimsky , Yu. G. Sikharulidze. Fundamentos de la mecánica del vuelo espacial. - Moscú: "Nauka", 1990.
V. E. Zharov. Astronomía esférica . - Fryazino, 2006. - S. 480 . — ISBN ISBN 5-85099-168-9 .
GM Fikhtengolts. Curso de cálculo diferencial e integral. Volumen 3
Lukyanov LG, Shirmin G.I. Conferencias sobre mecánica celeste. - Almaty, 2009. - S. 276.

Mecánica celeste

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