Códigos ternarios de Golay

Los códigos ternarios de Golay son dos códigos de corrección de errores estrechamente relacionados . El código conocido simplemente como código Golay ternario es un código -, es decir, es un código lineal sobre el alfabeto ternario . La distancia relativa de los códigos es máxima para los códigos ternarios y, por lo tanto, el código Golay ternario es un código perfecto . El código Golay ternario extendido es un código lineal [12, 6, 6], que se obtiene sumando un número de control (dando una suma cero) al código [11, 6, 5]. En la teoría de grupos finitosel código Golay ternario extendido a veces se denomina simplemente código Golay ternario.

Propiedades

Código Golay Ternario

Código Golay ternario perfecto
Lleva el nombre de Marcel Golay
Tipo de código de bloque
Longitud del bloque once
Longitud del mensaje 6
Cuota 6/11 ~ 0,545
Distancia 5
Tamaño del alfabeto 3
Designacion

El código Golay ternario consta de 3 6  = 729 palabras de código. Su matriz de control de paridad

Cualquiera de las dos palabras clave diferentes difieren en al menos 5 posiciones. Cualquier palabra ternaria de longitud 11 tiene una distancia de Hamming como máximo de 2 desde exactamente una palabra de código. El código se puede construir como un código de residuo cuadrado de longitud 11 sobre un campo finito F 3 .

Utilizado en sorteos de fútbol de 11 partidos el código ternario Golay corresponde a 729 apuestas y garantiza exactamente una apuesta con un máximo de 2 resultados erróneos.

El conjunto de palabras clave con un peso de Hamming de 5 es un diagrama de bloques de 3-(11,5,4) .

Código Golay ternario extendido

Código Golay ternario extendido
Lleva el nombre de Marcel Golay
Tipo de código de bloque
Longitud del bloque 12
Longitud del mensaje 6
Cuota 6/12 = 0,5
Distancia 6
Tamaño del alfabeto 3
Designacion

Enumerador de peso completo del código Golay ternario extendido

El grupo de automorfismos del grupo de código ternario extendido es 2. M 12 , donde M 12 es el grupo de Mathieu M12 .

El código Golay ternario extendido se puede construir como filas de una matriz de Hadamard de orden 12 sobre el campo F 3 .

Considere todas las palabras de código de código extendido que tienen seis dígitos distintos de cero. Los conjuntos de posiciones en las que aparecen estos dígitos distintos de cero forman el sistema de Steiner S(5, 6, 12).

Historia

El código ternario de Golay fue descubierto por Golay [1] . El código fue descubierto de forma independiente dos años antes por el entusiasta de las apuestas de fútbol finlandés Juhani Virtakallio, quien lo publicó en 1947 en los números 27, 28 y 33 de la revista de fútbol Veikkaaja [2] .

Véase también

Notas

  1. Golay, 1949 .
  2. Barg, 1993 , pág. 25

Literatura