Automorfismo

El automorfismo es un isomorfismo entre un objeto matemático y sí mismo; un mapeo que cambia un objeto mientras conserva todas sus propiedades originales. El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma el grupo de automorfismos , que se puede considerar como una generalización del grupo de simetría del objeto .

La definición exacta de un automorfismo depende del tipo de objeto matemático y del contexto. En álgebra universal, un automorfismo se define como un homomorfismo biyectivo de un sistema algebraico sobre sí mismo. El mapeo de identidad a veces se denomina automorfismo trivial ; en consecuencia, se dice que los automorfismos no idénticos no son triviales .

Un automorfismo en la teoría de categorías se define como un endomorfismo , que también es un isomorfismo .

Si los automorfismos de un objeto en una categoría forman un conjunto , entonces forman un grupo con respecto a la operación de composición de morfismos : un grupo de automorfismos (o simplemente , si la categoría es clara del contexto). $X$ $C$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Aut} _ {C} (X)}$ $\nombre del operador {Aut}(X)$

El primer automorfismo de grupo bien conocido descrito es el automorfismo de segundo orden en el icosiano , descubierto por Hamilton en 1856 [1] .

Ejemplos

En la teoría de conjuntos, una permutación arbitraria de los elementos de un conjunto es un automorfismo. El grupo de automorfismos también se llama grupo simétrico en . $X$ $X$ $X$

El conjunto de los números enteros , considerados como grupo por adición, tiene un único automorfismo no trivial: tomar el signo contrario. Sin embargo, considerado como un anillo , solo tiene un automorfismo trivial. En términos generales, tomar lo contrario es un automorfismo para cualquier grupo abeliano , pero no para un anillo o un campo. $\matemáticas {Z}$

Un automorfismo de grupo es un isomorfismo de grupo de un grupo sobre sí mismo; "permutación" de los elementos del grupo, en la que la estructura permanece invariable. Para cada grupo existe un homomorfismo de grupo natural cuya imagen es el grupo de automorfismos internos y cuyo núcleo es el centro del grupo . Por lo tanto, si un grupo a tiene un centro trivial , puede estar incrustado en un grupo de automorfismos propio [2] . $GRAMO$ $G\to \operatorname {Aut} (G)$ $\operatorname{Posada}(G)$ $GRAMO$ $GRAMO$

En álgebra lineal, un endomorfismo de espacio vectorial es un operador lineal . En este contexto, un automorfismo es un operador lineal reversible en . Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, el grupo de automorfismos es el mismo que el grupo lineal general . (La estructura algebraica que consta de todos los endomorfismos de , es en sí misma un álgebra sobre el mismo campo que , cuyos elementos invertibles consisten exactamente en .) $V$ ${\ estilo de visualización V \ a V}$ $V$ $V$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {GL} (V)}$ $V$ $V$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {GL} (V)}$

Un automorfismo de campo es un homomorfismo de anillo biyectivo de un campo en sí mismo. En el caso de los números racionales y los números reales , no existen automorfismos no triviales de estos campos. Algunos subcampos tienen automorfismos no triviales que, sin embargo, no se extienden a todo (por ejemplo, porque estos automorfismos no conservan la propiedad de un número de tener una raíz cuadrada en ). En el caso de los números complejos, hay un solo automorfismo no trivial que se traduce en : conjugación compleja , pero hay un conjunto infinito ( incontable ) de automorfismos "salvajes" (asumiendo el axioma de elección ) [3] [4] . Los automorfismos de campo son importantes para la teoría de las extensiones de campo , en particular las extensiones de Galois . En el caso de una extensión de Galois, el subgrupo de todos los automorfismos que se fijan puntualmente se denomina grupo de Galois de la extensión. $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización L/K}$ $L$ $k$

El grupo de automorfismos de cuaterniones ( ) como anillos son automorfismos internos por el teorema de Skolem-Noether : mapeos de la forma [5] . Este grupo es isomorfo a , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional. $H$ $a\to bab^{-1}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {SO} (3)}$

El grupo de automorfismo octonion ( ) es un grupo de Lie excepcional G2 . $O$

Un automorfismo de orden , un automorfismo de conjuntos parcialmente ordenados que conserva la relación de orden , juega un papel importante en la teoría del orden.

En la teoría de grafos, un automorfismo de grafos es una permutación de nodos que conserva los bordes y los no bordes. En particular, si dos nodos están conectados por un borde, sus mapeos después de aplicar el automorfismo también están conectados por un borde. En este caso, el automorfismo funciona como una renumeración o permutación de los vértices de un grafo.

En geometría, un automorfismo se llama movimiento del espacio. También se utiliza terminología especializada: en la categoría de superficies de Riemann , un automorfismo es un mapeo biholomórfico (también llamado mapeo conforme ) de una superficie sobre sí misma. Por ejemplo, los automorfismos de la esfera de Riemann son transformaciones de Möbius . Un automorfismo de una variedad diferenciable es un difeomorfismo en sí mismo. El grupo de automorfismos a veces se denota por . $METRO$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Diferencia} (M)}$

En topología, los morfismos entre espacios topológicos se denominan aplicaciones continuas , y un automorfismo de un espacio topológico es un homeomorfismo de un espacio en sí mismo. Este es un ejemplo del hecho de que no siempre es suficiente que un morfismo sea biyectivo para que sea un isomorfismo.

Automorfismos internos y externos

En algunos sistemas algebraicos, incluidos grupos , anillos y álgebras de Lie , los automorfismos se pueden dividir en dos tipos: internos y externos.

En el caso de los grupos, los automorfismos internos son conjugaciones por medio de elementos del propio grupo. Para cada elemento del grupo, la conjugación con es una operación definida como (o ; depende de la fuente). Es fácil comprobar que la conjugación con es un automorfismo de grupo. Los automorfismos internos forman un subgrupo normal del grupo , denotado por ; esto es descrito por el lema de Goursat . $a$ $GRAMO$ $a$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {a}: G \ a G}$ ${\displaystyle \phi _{a}(g)=aga^{-1))$ $a^{-1}ga$ $a$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Aut} (G)}$ $\operatorname{Posada}(G)$

Los automorfismos restantes se denominan automorfismos externos. Generalmente se denota un grupo de factores ; los elementos no triviales son clases laterales que contienen automorfismos externos. $\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Posada} (G)$ $\operatorname{Fuera}(G)$

La misma definición tiene sentido en cualquier anillo con una unidad o en un campo donde cualquier elemento es invertible . Para las álgebras de Lie, la definición es ligeramente diferente.

Literatura

↑ William Rowan Hamilton (1856). “Memorándum respecto a un nuevo Sistema de Raíces de Unidad” (PDF) . Revista filosófica . 12 :446.
…así que esa es una quinta raíz nueva de unidad, conectada con la quinta raíz anterior por relaciones de reciprocidad perfecta. $\mu$ $\lambda$
↑ PJ Pahl, R Damrath. §7.5.5 Automorfismos // Fundamentos matemáticos de la ingeniería computacional . — Traducción de Félix Pahl. - Springer, 2001. - Pág . 376 . — ISBN 3-540-67995-2 .
↑ Yale, Paul B. (mayo de 1966). “Automorfismos de los Números Complejos” (PDF) . Revista de Matemáticas . 39 (3): 135-141. DOI : 10.2307/2689301 . JSTOR2689301 . _
↑ Lounesto, Pertti. Clifford Álgebras y Spinors . — 2do. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 2001. - P. 22-23 . - ISBN 0-521-00551-5 .
↑ Manual de álgebra , vol. 3, Elsevier , 2003, pág. 453

Enlaces

Artamónov V. A. . Capítulo VI. Álgebras Universales // Álgebra General / Ed. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Biblioteca matemática de referencia). — 25.000 copias. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Un sistema de automorfismo algebraico es un artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . D. M. Smirnov
Plotkin BI Grupos de automorfismos de sistemas algebraicos. — M .: Nauka , 1966. — 603 p. - 6000 copias.