Ángulo triédrico

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Un ángulo triédrico es una parte del espacio delimitada por tres ángulos planos con un vértice común y lados comunes por pares que no se encuentran en el mismo plano. El vértice común O de estos ángulos se llama vértice del ángulo triédrico. Los lados de las esquinas se llaman aristas, las esquinas planas en el vértice de un ángulo triédrico se llaman sus caras. Cada uno de los tres pares de caras de un ángulo triédrico forma un ángulo diedro (limitado por una tercera cara que no está incluida en el par; si es necesario, esta restricción se elimina naturalmente, dando como resultado los semiplanos necesarios que forman el diedro completo ángulo sin restricción). Si colocamos el vértice de un ángulo triédrico en el centro de una esfera, se forma en su superficie un triángulo esférico limitado por él , cuyos lados son iguales a los ángulos planos del ángulo triédrico, y los ángulos son iguales a sus ángulos diedros.

La desigualdad triangular para un ángulo triédrico

Cada ángulo plano de un ángulo triédrico es menor que la suma de sus otros dos ángulos planos. [una]

La suma de los ángulos planos de un ángulo triédrico

La suma de los ángulos planos de un ángulo triédrico es menor que 360 grados.

Prueba

Sea OABC un ángulo triédrico dado (ver Fig. 1). Considere un ángulo triédrico con vértice A formado por las caras ABO, ACO y el ángulo BAC. Escribamos la desigualdad:

\ángulo BAC<\ángulo BAO+\ángulo CAO

De manera similar, para los ángulos triédricos restantes con vértices B y C:

\ángulo ABC<\ángulo ABO+\ángulo CBO

\ángulo ACB<\ángulo ACO+\ángulo BCO

Sumando estas desigualdades y teniendo en cuenta que la suma de los ángulos del triángulo ABC es 180°, obtenemos

180<\ángulo BAO+\ángulo CAO+\ángulo ABO+\ángulo CBO+\ángulo BCO+\ángulo ACO=180-\ángulo AOB+180-\ángulo BOC+180-\ángulo AOC

Como consecuencia : $\ángulo AOB+\ángulo BOC+\ángulo AOC<360$

El teorema del coseno para un ángulo triédrico

Sea dado un ángulo triédrico (ver Fig. 2), α, β, γ - sus ángulos planos, A, B, C - ángulos diedros compuestos por planos de ángulos β y γ, α y γ, α y β.

El primer teorema del coseno para un ángulo triédrico:

\cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta }\sin {\gamma }\cos {A}

El segundo teorema del coseno para un ángulo triédrico:

\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha }

Prueba

Sea OABC un ángulo triédrico dado. Dejemos caer las perpendiculares desde el punto interior del ángulo triédrico a sus caras y obtengamos un nuevo ángulo triédrico polar (dual al dado). Los ángulos llanos de un ángulo triédrico complementan los ángulos diedros de otro, y los ángulos diedros de un ángulo complementan los llanos de otro hasta 180 grados. Es decir, los ángulos planos del ángulo polar son respectivamente iguales: 180 - A; 180-B; 180 - C , y diedro - 180 - α; 180-β; 180-γ

Escribamos el primer teorema del coseno para ello

\cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+

+\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}

y después de simplificaciones obtenemos:

\cos {A}=\cos {\alfa}\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}

El teorema del seno para un ángulo triédrico

${\sin {\alpha} \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}$ , donde α, β, γ son los ángulos planos del ángulo triédrico; A, B, C - ángulos diedros opuestos (ver Fig. 2).

Véase también

Ángulo sólido

Notas

↑ Geometría según Kiselyov . Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine , §324 .