Sustitución trigonométrica universal

La sustitución trigonométrica universal , en la literatura inglesa llamada sustitución de Weierstrass después de Karl Weierstrass , se utiliza en la integración para encontrar antiderivadas , integrales definidas e indefinidas de funciones racionales de funciones trigonométricas. Sin pérdida de generalidad, en este caso podemos considerar tales funciones como funciones racionales de seno y coseno. La sustitución utiliza la tangente de un medio ángulo .

Sustitución

Considere el problema de encontrar una función racional antiderivada de seno y coseno.

Sustituyamos sen x , cos x y la diferencial dx por funciones racionales de la variable t , y su producto la diferencial dt , como sigue: [1]

{\begin{alineado}\sin x&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[8pt]\cos x&={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}\\[8pt]dx&={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}\end{alineado}}

para valores de x que se encuentran en el intervalo

{\ estilo de visualización - \ pi <x<\ pi.}

Introducción a la notación

Suponemos que la variable t es igual a la tangente de un medio ángulo:

t=\nombre del operador {tg}{\frac {x}{2}}.

En el intervalo − π < x < π , esto da

{\ estilo de visualización x = 2 \ nombre del operador {arctg} (t),}

y después de la diferenciación obtenemos

dx={\frac{2\,dt}{1+t^{2}}}.

La fórmula para la tangente de un medio ángulo da para el seno

{\begin{alineado}\sin x=\sin \left(2\operatorname {arctg}(t)\right)&=2\sin(\operatorname {arctg}(t))\cos(\operatorname {arctg} (t))\\[6pt]&=2\,{\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2))))}\,{\frac {1}{{\sqrt {1 +t^{2}}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\end{alineado}}

y para el coseno la fórmula da

{\begin{alineado}\cos x=\cos \left(2\operatorname {arctg}(t)\right)&=\cos ^{2}(\operatorname {arctg}(t))-\sin ^{ 2}(\nombre del operador {arctg}(t))\\[6pt]&=\left({\frac {1}({\sqrt {1+t^{2))))}\right)^{2 }-\left({\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2}}}}}\right)^{2}={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}.\end{alineado}}

Ejemplos

Primer ejemplo

Encontremos la integral

\int {\frac {1}{3-5\cos x}}\,dx.

Usando la sustitución de Weierstrass, obtenemos

\int {\frac {1}{3-5\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)))\cdot {\frac {2\ ,dt}{1+t^{2}}}=\int {\frac {dt}{4t^{2}-1}}=\int {\frac {dt}{(2t-1)(2t+ uno )}}.

Para calcular la última integral, usamos la expansión de fracciones :

{\begin{alineado}&{}\quad \int \left({\frac {1/2}{2t-1}}-{\frac {1/2}{2t+1}}\,\right) dt\\[6pt]&={\frac 14}\ln \left|2t-1\right|-{\frac 14}\ln \left|2t+1\right|+{\text{constante))= {\frac 14}\ln \left|{\frac {2t-1}{2t+1}}\right|+{\text{constante}}\\[6pt]&={\frac 14}\ln \ izquierda|{\frac {2\nombre del operador {tg}\left({\frac x2}\right)-1}{2\nombre del operador {tg}\left({\frac x2}\right)+1}}\right |+{\text{constante}}.\end{alineado}}

Además, de acuerdo con la fórmula de la tangente del medio ángulo, podemos reemplazar tg( x / 2) con sen x / (1 + cos x ), y luego obtenemos

{\frac 14}\ln \left|{\frac {2\sin x-1-\cos x}{2\sin x+1+\cos x}}\right|+{\text{constante)),

o también podemos reemplazar tg( x /2) con (1 − cos x )/sen x .

Segundo ejemplo: integral definida

La diferencia entre integración definida e indefinida es que al calcular la integral definida, no tenemos que convertir la función resultante de la variable t nuevamente a una función de la variable x , si cambiamos correctamente los límites de integración.

Por ejemplo,

\int _{0}^{{\pi /6}}{\frac {1}{5+4\sin x}}\,dx=\int _{0}^{{2-{\sqrt {3 }}}}{\frac {1}{5+4\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}}\,{\frac {2\,dt}{ 1+t^{2}}}

Si x cambia de 0 a π /6, sen x cambia de 0 a 1/2. Esto significa que el valor 2 t /(1 + t 2 ) igual a sin cambia de 0 a 1/2. Entonces uno puede encontrar los límites de integración sobre la variable t :

{\ fracción {2t}{1+t^{2}}}={\ fracción 12},

multiplicando ambos lados de la ecuación por 2 y por (1 + t 2 ), obtenemos:

{\ estilo de visualización 1+t^{2}=4t.}

Resolviendo la ecuación cuadrática , obtenemos dos raíces

t=2\pm {\sqrt {3)).

Surge la pregunta: ¿cuál de estas dos raíces es adecuada para nuestro caso? Se puede responder observando el comportamiento.

\sin x={\frac{2t}{1+t^{2}}}

en función de x y en función de t . Cuando x cambia de 0 a π , la función sen x cambia de 0 a 1 y luego vuelve a 0. Esta función pasa por el valor 1/2 dos veces: cuando cambia de 0 a 1 y cuando vuelve a cambiar de 1 a 0. Cuando t cambia de 0 a ∞, la función 2 t /(1 + t 2 ) cambia de 0 a 1 (cuando t = 1) y luego vuelve a 0. Pasa el valor 1/2 al cambiar de 0 a 1 y cuando volviendo a cambiar: la primera vez en t = 2 − √3 y luego nuevamente en t = 2 + √3.

Habiendo hecho transformaciones algebraicas simples, obtenemos