Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son expresiones matemáticas para funciones trigonométricas que son válidas para todos los valores del argumento (del dominio general de definición ). En este artículo, solo se dan identidades con funciones trigonométricas básicas, pero también hay identidades para funciones trigonométricas que se usan con poca frecuencia .

Fórmulas trigonométricas básicas

No.	Fórmula	Valores de argumento válidos
1.1	$\operatorname {sin}^{2}\alpha +\operatorname {cos}^{2}\alpha =1$	$\para todos \alpha$ (es decir, cualquier valor de α )
1.2	$\operatorname {tg}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {seg}^{2}\alpha$	${\ estilo de visualización \ alfa \ neq {\ frac {\ pi }{2}} + \ pi n}$ a $n\in \mathbb {Z}$
1.3	$\operatorname {ctg}^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec}^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
1.4	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {tg} \ alfa \ cdot \ nombre del operador {ctg} \ alfa = 1}$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2)),\quad n\in \mathbb {Z}$

La fórmula (1.1) es una consecuencia del teorema de Pitágoras .
Las fórmulas (1.2) y (1.3) se obtienen a partir de la fórmula (1.1) dividiendo entre y, respectivamente. ${\ estilo de visualización \ cos ^ {2} \ alfa}$ ${\ estilo de visualización \ pecado ^ {2} \ alfa}$
La fórmula (1.4) se sigue de las definiciones de tangente y cotangente.

Fórmulas para sumar y restar argumentos

No.	Fórmulas de suma y resta de argumentos
2.1	$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
2.2	$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
2.3	$\operatorname {tg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta }{1\mp \operatorname {tg}\alpha \nombre del operador {tg}\beta}}$
2.4	$\operatorname {ctg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg}\alpha \operatorname {ctg}\beta \mp 1}{\operatorname {ctg}\beta \pm \nombre del operador {ctg}\alfa}}$

La fórmula (2.3) se obtiene dividiendo (2.1) entre (2.2) y la fórmula (2.4) se obtiene dividiendo (2.2) entre (2.1) .

Derivación de fórmulas para

\sin(\alfa +\beta ),\ \cos(\alfa +\beta )

en la fig. 1 muestra cuatro triángulos rectángulos: ABC, ABD, AOC, BOD.

Se acepta que $AB=1,\angle DAC=\alpha,\angle DAB=\beta;$

Por construcción: $\angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;$

Después: $\angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;$

Del triángulo ABD:

BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;

Del triángulo DBO:

OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha ));

OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha ))

Como O se encuentra en el segmento AD:

AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha ))={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \ beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}

Entonces inmediatamente:

\cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta

Del triángulo AOC:

OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alfa}}

Como consecuencia:

\sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha ))+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \ alfa \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=

\sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha ))=\sin \alpha \ cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta

QED .

Fórmulas de doble ángulo y medio ángulo

Las fórmulas de doble ángulo se derivan de las fórmulas (2.1) - (2.4) si β es igual a α :

No.	Fórmulas de doble ángulo
3.1	$\operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1+\operatorname {tg} ^{ 2}\alfa}}$
3.2	$\operatorname {cos}2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\operatorname {cos}2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$
3.3	$\operatorname {tg}2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg}\alpha }{1-\operatorname {tg}^{2}\alpha }}$
3.4	$\nombre de operador {ctg}2\alpha ={\frac {\nombre de operador {ctg}^{2}\alpha -1}{2\nombre de operador {ctg}\alpha }}$

notas

para la fórmula : $\nombre del operador {tg}2\alfa$

$\alpha \not ={\frac {\pi }4}+{\frac {\pi }2}n,n\in {\mathbb Z},$
$\alpha \not ={\frac {\pi }2}+\pi n,n\in {\mathbb Z},$

para la fórmula : $\nombre del operador {ctg}2\alfa$ $\alpha \not ={\frac {\pi }2}+\pi n,n\in {\mathbb Z}.$

De la fórmula del doble ángulo para el coseno (3.2), se derivan las fórmulas de medio ángulo:

No.	Fórmulas de medio ángulo
3.5	$\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2))$
3.6	$\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2))$
3.7	$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$

Fórmulas de triple ángulo

Las fórmulas del ángulo triple se derivan de las fórmulas (2.1) - (2.4) si β se iguala a 2α:

No.	Fórmulas de triple ángulo
4.1	$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$
4.2	$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$
4.3	$\nombre de operador {tg}3\alpha ={\frac {3\nombre de operador {tg}\alpha -\nombre de operador {tg}^{3}\alpha }{1-3\nombre de operador {tg}^{2}\alpha } }$
4.4	$\nombre de operador {ctg}3\alpha ={\frac {3\nombre de operador {ctg}\alpha -\nombre de operador {ctg}^{3}\alpha }{1-3\nombre de operador {ctg}^{2}\alpha } }$

notas

para fórmula : para fórmula : ; $\nombre del operador {tg}3\alfa$ $\alpha \not ={\frac {\pi }6}+{\frac {\pi }3}n,n\in {\mathbb Z}$
$\nombre del operador {ctg}3\alfa$ $\alpha \not ={\frac {\pi }3}n+\pi n,n\in {\mathbb Z}$

Fórmulas de reducción

Las fórmulas de reducción de grados se derivan de las fórmulas (3.2) :

No.	Seno	No.	Coseno
5.1	$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	5.5	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$
5.2	$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4))$	5.6	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4))$
5.3	$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8))$	5.7	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8))$
5.4	$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16))$	5.8	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16))$

No.	Trabajar
5.9	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8))$
5.10	$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32))$
5.11	$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128))$
5.12	$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512))$

Fórmulas para transformar el producto de funciones

No.	Fórmulas de conversión de funciones
6.1	$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2))$
6.2	$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2))$
6.3	$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2))$

Derivación de fórmulas para la transformación de productos de funciones.

Las fórmulas para transformar el producto de funciones se derivan de las fórmulas para sumar argumentos (2.1) y (2.2). Por ejemplo, de la fórmula (2.1) se sigue:

\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \ alfa\pecado\beta=

=2\sin \alpha \cos \beta

Eso es:

\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2))

es la fórmula (6.2).

Las fórmulas restantes para la transformación de productos de funciones se derivan de manera similar.

Fórmulas para transformar sumas de funciones

No.	Fórmulas para convertir la suma de funciones
7.1	$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta}{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta}{2))$
7.2	$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2))\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))$
7.3	$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2))\sin {\frac {\alpha -\beta }{2))$
7.4	$\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta ))$
7.5	$\nombre de operador {ctg}\alpha \pm \nombre de operador {ctg}\beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta ))$

Derivación de fórmulas para transformar la suma de funciones

Las fórmulas para transformar la suma de funciones se derivan de las fórmulas para transformar los productos de funciones (6.1)–(6.3) usando la sustitución:

\alpha ={\frac {\alpha '+\beta '}{2))

\beta ={\frac {\alpha '-\beta '}{2))

Sustituyamos estas expresiones en la fórmula (6.1):

\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}={\frac {\cos \beta '-\cos \ alfa '}{2}}

, eso es

\cos \alpha '-\cos \beta '=-2\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}

— omitiendo los números primos, obtenemos la fórmula (7.3).

Las fórmulas restantes para la transformación de la suma de seno y coseno se derivan de manera similar. De la fórmula (2.3) se sigue:

\operatorname {tg}\alpha +\operatorname {tg}\beta =\operatorname {tg}(\alpha +\beta)(1-\operatorname {tg}(\alpha )\operatorname {tg}(\beta )) =

={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta ))

={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta}}

, eso es

\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta ))\qquad \qquad

es la fórmula (7.4).

Convertir la suma de los senos de 3 ángulos diferentes en un producto en $\alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }\colon$

\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta}{2))\sin {\frac {\gamma}{2))

(7.6).

Resolver ecuaciones trigonométricas simples

$\sinx=a.$

Si — no hay soluciones reales.

|a|>1

Si - la solución es un número de la forma donde

|a|\leqslant 1

x=(-1)^{n}\arcsen a+\pi n,

n\in \mathbb {Z} .

$\cosx=a.$

Si — no hay soluciones reales.

|a|>1

Si - la solución es un número de la forma

|a|\leqslant 1

x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

$\nombre del operador {tg} \,x=a.$

La solución es un número de la forma

x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

$\nombre del operador {ctg} \,x=a.$

La solución es un número de la forma

x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

Sustitución trigonométrica universal

Las identidades a continuación solo tienen sentido cuando la tangente tiene sentido (es decir, cuando ). ${\ estilo de visualización \ alfa \ neq \ pi +2 \ pi n}$

$\sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg}^{{2}}{\frac {\ alfa {2))))$	$\cos \alpha ={\frac {1-\nombre del operador {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\nombre del operador {tg}^{{2}}{\ fracción {\ alfa {2))))$
$\operatorname {tg}\,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg}}\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg}^{{2 }}{\frac {\alfa }{2}}}}$	$\nombre del operador {ctg}\,\alpha ={\frac {1-\nombre del operador {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\nombre del operador {tg}} \,{\frac {\alfa}{2))))$
$\sec \alpha ={\frac {1+\nombre del operador {tg}^{{2}}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\nombre del operador {tg}^{{2}}{\ fracción {\ alfa {2))))$	$\csc \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2))}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\ fracción {\ alfa }{2}}}}}$

Relaciones similares son válidas para la cotangente ( ): ${\ estilo de visualización \ alfa \ neq 2 \ pi n}$

$\sin \alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{1+{\text{ctg}}^{2}{\ fracción {\ alfa }{2}}}}}$	$\cos \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{ctg}}^{2}{ \frac {\alfa{2}}+1}}$
${\text{tg}}~\alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{ 2}{\frac{\alfa{2}}-1}}$	${\text{ctg}}~\alpha ={\frac ({\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{2~{\text{ ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{ctg}}^{2}{ \frac{\alfa{2}}-1}}$	$\csc \alpha ={\frac {1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2~{\text{ctg}}~{\ fracción {\ alfa }{2}}}}}$

Argumento auxiliar (fórmulas para agregar vibraciones armónicas)

La suma de dos oscilaciones armónicas con la misma frecuencia será nuevamente una oscilación armónica. En particular,

a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi ),

donde y no son iguales a cero al mismo tiempo, es el ángulo, llamado argumento auxiliar, que se puede encontrar a partir del sistema de ecuaciones: $a,b\in \mathbb {R} ,$ $a$ $b$ $\varphi$

\left\{{\begin{matriz}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))),\\\cos \varphi = {\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))).\end{matriz}}\right.

nota _ Se deduce del sistema anterior que , sin embargo, no siempre se puede suponer eso (más detalles aquí ). Es necesario tener en cuenta los signos y determinar a qué cuarto pertenece el ángulo . ${\ estilo de visualización a \ neq 0}$ $\mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}$ $\varphi ={\text{arctg}}~{\tfrac {b}{a}}$ $a$ $b,$ $\varphi.$

Representación de funciones trigonométricas en forma compleja

La fórmula de Euler establece que para cualquier número real se cumple la siguiente igualdad: $X$

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

donde es la base del logaritmo natural , $mi$

i

es la unidad imaginaria .

Usando la fórmula de Euler, puede definir las funciones y de la siguiente manera: $\sin x$ $\cos x$

\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{{ix}}+ e^{{-ix}}}{2}}.

De ahí se sigue que

\operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \ qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},

\sec x={\frac {2}{e^{{ix}}+e^{{-ix}}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec}\,x={\frac {2i}{ e^{{ix}}-e^{{-ix}}}}.

Todas estas identidades pueden generalizarse analíticamente a cualquier valor complejo.

Véase también

Trigonometría
General	Resumen de trigonometría Historia Uso Funciones Reverso Raramente usado trigonometría generalizada
Directorio	identidades constantes exactas mesas circulo unitario
Leyes y teoremas	teorema del seno Teorema de pitágoras teorema del coseno Teorema de la tangente teorema de la cotangente resolver triángulos
Análisis matemático	Sustitución trigonométrica Integrales ( funciones inversas ) Derivados