Anillo ordenado

Un anillo ordenado en álgebra general es un anillo (generalmente conmutativo ), para todos los elementos de los cuales se define un orden lineal , consistente con las operaciones del anillo. Los ejemplos más importantes en la práctica son el anillo de los enteros y los anillos de los múltiplos enteros . $R$ $\matemáticas {Z}$

Definición

Sea un anillo cuyos elementos tienen un orden lineal , es decir, una relación ( menor o igual que ) con las siguientes propiedades [1] . $R$ $\leqslant$

Reflexividad : . $x \leqslant x$
Transitividad : si y , entonces . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisimetría : si y , entonces . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linealidad: todos los elementos son comparables entre sí, es decir, o , o . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Además, requerimos que el orden sea consistente con las operaciones de suma y multiplicación del anillo:

Si , entonces para cualquier z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Si y , entonces . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Si se cumplen los 6 axiomas, entonces el anillo se llama ordenado [2] . $R$

Ejemplos de anillos ordenados

anillo de enteros $\mathbb{Z}.$
El anillo de números pares y, en general, cualquier anillo de números que son múltiplos de un número real distinto de cero (no necesariamente un número entero). $k$
Cualquier campo ordenado , por ejemplo, los campos de números racionales y reales, también son anillos ordenados.
Un ejemplo de un anillo ordenado con divisores de cero : si, en el grupo aditivo de los enteros, ponemos todos los productos iguales a cero, entonces obtenemos un anillo ordenado en el que cualquier elemento es un divisor de cero (la unidad entonces no es un elemento neutral para la multiplicación, por lo que se obtiene un anillo sin unidad) [3 ] [4] .

Definiciones relacionadas

Para facilitar la notación, se introducen relaciones secundarias adicionales:

Una razón mayor o igual que : significa que .

x\geqslant y

y\leqslant x

La razón mayor que : significa que y .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Una razón menor que : significa que .

x<y

y > x

Una fórmula con cualquiera de estas 4 relaciones se llama desigualdad .

Los elementos mayores que cero se llaman positivos , mientras que los menores que cero se llaman negativos . El conjunto de elementos positivos de un anillo ordenado a menudo se denota por $R$ $R_{+}.$

Un anillo ordenado discreto es un anillo ordenado que no tiene elementos entre 0 y 1. Los números enteros son un anillo ordenado discreto, mientras que los números racionales no lo son.

Propiedades básicas

Todos tienen las siguientes propiedades. ${\ estilo de visualización x, y, z \ en R}$

Cada elemento de un anillo ordenado pertenece a una y solo una de tres categorías: positivo, negativo, cero. Si es positivo, entonces negativo, y viceversa. $X$ $-X$
Se pueden sumar desigualdades similares:

Si y , entonces .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Las desigualdades se pueden multiplicar por elementos no negativos:

Si y , entonces .

x \leqslant y

{\ Displaystyle z \ geqslant 0}

zx\leqslant zy

Un anillo ordenado no tiene divisores de cero si y solo si el producto de elementos positivos es positivo.
Regla de los signos: el producto de elementos distintos de cero con el mismo signo es no negativo (si no hay divisores de cero en el anillo, entonces positivo), y el producto de un elemento positivo por uno negativo es no positivo (si no hay divisores de cero, entonces negativo),
- Corolario 1: en un anillo ordenado, el cuadrado de un elemento distinto de cero siempre es no negativo (y si no hay divisores de cero, entonces es positivo) [5] .
- Corolario 2: siempre en anillo ordenado con 1 (porque 1 es el cuadrado de sí mismo) [4] . $1>0$
Un anillo ordenado que no es trivial (es decir, contiene más que cero) es infinito.
Cualquier anillo ordenado con unidad y sin divisores de cero contiene uno y solo un subanillo isomorfo al anillo de los enteros [6] . $\matemáticas {Z}$

Ejemplos de anillos y campos que no permiten ordenar

Los números complejos no forman un anillo ordenado, porque en un anillo ordenado, como se dijo anteriormente, el cuadrado de un elemento siempre es no negativo y la unidad imaginaria no puede entrar en él.
Campos finales .
Números p-ádicos .

Valor absoluto

Determinar el valor absoluto del elemento . ${\ estilo de visualización x:}$

{\ estilo de visualización | x | = \ max (x,-x)}

Aquí la función selecciona el valor más grande. Tiene las siguientes propiedades (para todo el anillo) [7] . ${\ estilo de visualización \ máximo}$ $x,y$

${\ estilo de visualización | x | = 0}$ si y solo si . $x=0$
Para todos los distintos de cero y sólo para ellos . $X$ ${\ estilo de visualización | x |> 0}$
Los valores absolutos de los números opuestos son iguales: ${\ estilo de visualización |x|=|{-x}|}$
Triángulo Desigualdad : . $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
Multiplicatividad: ${\ estilo de visualización |xy|=|x||y|.}$
$|x|\leqslant y$ es equivalente a $-y\leqslant x\leqslant y$

Variaciones y generalizaciones

La teoría de los anillos ordenados también cubre casos especiales de anillos no conmutativos (o incluso no asociativos). Se están explorando otras variaciones:

El anillo no es lineal, sino solo parcialmente ordenado , es decir, no todos los elementos pueden compararse usando un orden dado [8] .
En lugar de un anillo, hay un semiringing , es decir, en general, no hay resta en él [9] . Ejemplo: serie natural extendida por cero.

Notas

↑ Lam, TY (1983), Ordenamientos, valoraciones y formas cuadráticas , vol. 52, Serie de conferencias regionales de CBMS sobre matemáticas, Sociedad matemática estadounidense , ISBN 0-8218-0702-1
↑ Bourbaki, 1965 , pág. 271.
↑ Bourbaki N. Álgebra. Estructuras algebraicas. Álgebra lineal. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 p.
↑ 1 2 Bourbaki, 1965 , p. 272.
↑ Nechaev, 1975 , pág. 90.
↑ Nechaev, 1975 , pág. 100.
↑ Nechaev, 1975 , pág. 91.
↑ Anillo parcialmente ordenado . Consultado el 27 de enero de 2019. Archivado desde el original el 27 de enero de 2019. (indefinido)
↑ Nechaev, 1975 , pág. 88-89.

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Polinomios y campos. Grupos ordenados. - M. : Nauka, 1965. - S. 271-272. — 299 págs.
Nechaev V. I. 6.4. Anillos y cuerpos ordenados linealmente // Sistemas numéricos. - M. : Educación, 1975. - S. 90-94. — 199 pág.

Enlaces

Anillo ordenado en el sitio web de PlanetMath .