Ecuación de Dirac para el grafeno

Las cuasipartículas en el grafeno tienen una ley de dispersión lineal cerca de los puntos de Dirac y sus propiedades están completamente descritas por la ecuación de Dirac [1] . Los propios puntos de Dirac están en los bordes de la zona de Brillouin , donde los electrones tienen un gran vector de onda. Si ignoramos los procesos de transferencia entre valles, entonces este gran vector no afecta el transporte de ninguna manera en la aproximación de baja energía, por lo que el vector de onda que aparece en la ecuación de Dirac se cuenta a partir de los puntos de Dirac y la ecuación de Dirac se escribe para diferentes valles por separado.

Conclusión

Estructura de la banda

Si tenemos en cuenta solo la contribución de los vecinos más cercanos a la formación de bandas de energía , entonces el hamiltoniano en la aproximación de enlace fuerte para una red cristalina hexagonal toma la forma

H=-t\sum_{{i\in \Lambda_{A}}}\sum_{{j=1}}^{3}a^{{\daga}}({\textbf {r}} _{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\sum_{{i\in \Lambda_{B}}}\ suma _{{j=1}}^{3}b^{{\daga }}({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\ textobf {v}}_{j}),\qquad (1.1)

donde es la integral de superposición entre las funciones de onda de los vecinos más cercanos, que también determina la probabilidad de una transición ("salto") entre los átomos vecinos (átomos de diferentes subredes), los operadores de creación y los operadores que actúan sobre las subredes triangulares del cristal y respectivamente, y son los operadores de aniquilación . Satisfacen las relaciones de anticonmutación usuales para los fermiones : $t$ $a^{{\daga }}({\textbf {r}}_{i})$ $b^{{\daga}}({\textbf{r}}_{i})$ $\Lambda _{A}$ $\Lambda _{B}$ $a({\textbf{r}}_{i})$ $b({\textbf{r}}_{i})$

[a({\textbf {r}}_{i}),a^{{\daga }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_{{+ }}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{{\daga }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_ {{+}}=\delta _{{ii^{{'}}}}.\qquad (1.2)

Los seis vectores y apuntan a los nodos más cercanos al átomo central seleccionado y están dados por las relaciones ${\textbf{u}}_{i}$ ${\textbf{v}}_{i}$

{\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\ fracción {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\qquad (1.3)

{\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d, {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right).\qquad (1.4)

Transformada de Fourier de los operadores de creación y aniquilación

a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits_{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^ {{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_ {i})=\int \limits_{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{{i{\textbf {k}} {\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1.5)

donde la integración sobre vectores de onda se realiza a partir de la primera zona de Brillouin , nos permite escribir el hamiltoniano de la forma

H=\int \limits_{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{{\dagger }} ({\textbf {k))){\tilde {H}}{\tilde {\psi}}({\textbf {k}}),\qquad (1.6)

donde se aceptan las siguientes designaciones:

{\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf { k)))\right)^{{T)),\,{\tilde {\psi }}^{{\dagger }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a} }^{{\daga }}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{{\daga }}({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)

{\tilde {H}}=\left({\begin{matriz}{cc}0&-t\sum_{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{ \textbf {u}}_{j}}}\\-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_ {j}}}&0\\\end{matriz}}\right).\qquad (1.8)

La expresión (1.6) se puede obtener sustituyendo (1.5) en (1.1). Considere la suma

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}a^{{\daga}}({\textbf {r}}_{i} )b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)

que, usando las relaciones (1.5), se puede escribir como

\sum_{{i\in \Lambda_{A}}}\sum_{{j=1}}^{3}\int \limits_{{BZ}}{\frac {d^{2}k }{(2\pi )^{2))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a\daga }}({ \textbf {k)))\int \limits_{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}e^{{ i{\textbf {k}}^{{'}}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}})}}{\tilde {b}}( { \textbf {k}}^{{'}}),\qquad (1.10)

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}} )\int \limits_{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}\sum_{{i\in \Lambda _{A))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {r }}_{i}}}\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {u}}_{j ))}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{{'}}).\qquad (1.11)

Usando la relación

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^ {{'}}{\textbf {r}}_{i}}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{{'}}-{\textbf {k}}\derecha),\qquad (1.12)

obtenemos después de la integración sobre la expresión ${\textbf {k}}^{{'}}$

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}} )\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}{\tilde {b}}({\ textobf {k}}).\qquad (1.13)

Una transformación similar de la segunda suma en el hamiltoniano (1.1) conduce al resultado deseado (1.6).

Los valores propios del hamiltoniano (1.8) toman los valores

E=\pm t{\sqrt {\sum_{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}\sum _{{j^{{'}}=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{{j^{{'}}}}} }}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{{-ik_{x}d}}+2e^{{ik_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{{ik_{x}d}}+2e^{{-ik_{x}d/2}}\cos {{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)}}=

\pm t{\sqrt {\left(1+2e^{{i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\ derecha)\izquierda(1+2e^{{-i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\derecha))) =\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\ fracción {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\right]} },\qcuadrado (1.14)

que determinan la estructura de bandas del grafeno. [2]

Aproximación de baja energía

Las zonas (1.14) con energía positiva ( electrones ) y energía negativa ( agujeros ) se tocan en seis puntos, llamados puntos de Dirac, ya que cerca de ellos el espectro de energía adquiere una dependencia lineal del vector de onda. Las coordenadas de estos puntos son

\left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\ derecha),\,\izquierda({\frac {2\pi }{3d)),-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\derecha),\,\izquierda (-{\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2 \pi }{3d)),{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)

Se pueden elegir dos valles independientes para que los vértices de las bandas de valencia estén en los puntos de Dirac con coordenadas

{\textbf {K}}^{{\pm }}=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2 )

Considere el elemento fuera de la diagonal del hamiltoniano (1.8). Expandámoslo cerca de los puntos de Dirac (2.2) en términos del pequeño parámetro d ${\tilde {H}}_{{12}}$

\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}{\tilde {H}}_{{12}}|_{{{\textbf {k}}={\textbf {K} }^{{\pm }}+{\boldsymbol {\kappa }}}}=-t\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}\left(e^{{-i \kappa _{x}d}}+2e^{{i\kappa _{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}}\left( \pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _ {x}\pm \kappa_{y}).\qquad (2.3)

Para , la expansión se calcula de manera similar y, como resultado, podemos escribir el hamiltoniano para cuasipartículas cerca de los puntos de Dirac en la forma ${\tilde {H}}_{{21}}$

\left({\begin{array}{cc}H^{{+}}&0\\0&H^{{-}}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)

donde es la velocidad de fermi y $v_{F}=3td\hbar ^{{-1}}/2$

\alpha ^{1}=-\left({\begin{matriz}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{matriz}}\right),\, \alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2.5)

Aquí y son matrices de Pauli . $\sigma^{1}$ $\sigma^{2}$

Si ahora pasamos a la representación de coordenadas haciendo la transformada de Fourier del hamiltoniano (2.4), entonces llegamos al hamiltoniano en la ecuación de Dirac para cuasipartículas en grafeno

H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\parcial _{x}+\alpha ^{2}\parcial _{y}).\qquad (2.6)

La solución de la ecuación de Dirac para el grafeno será una columna de cuatro componentes de la forma $H\psi =E\psi$

\psi =(\psi _{A}^{{+}},\psi _{B}^{{+}},\psi _{A}^{{-}},\psi _{B}^ {{-}})^{{T}},\qquad (2.7)

donde los índices y corresponden a dos subredes del cristal, y los signos "+" y "-" denotan puntos de Dirac no equivalentes en el espacio k. [2] $A$ $B$

Rotación arbitraria del sistema de coordenadas

Dado que la ley de dispersión no debe depender en la aproximación de baja energía de la orientación de la red cristalina en relación con el sistema de coordenadas, y la ecuación de Dirac para el grafeno no tiene esta propiedad, surge la pregunta sobre la forma general de la ecuación de Dirac cuando se gira el sistema de coordenadas. Está claro que la única diferencia entre las ecuaciones de Dirac en un sistema de coordenadas dado y un sistema de coordenadas rotado por un ángulo , siempre que se conserve la ley de dispersión, es la suma de factores de fase. Los cálculos conducen a un hamiltoniano para partículas libres de la forma [3] $\alfa$

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{{\pm i\alpha }}(i\parcial _ {x}\pm \parcial _ { y})\\e^{{\mp i\alpha }}(-i\parcial _{x}\pm \parcial _{y})&0\\\end{matriz}}\right),\qquad ( 3.1)

de donde puede obtener todas las ecuaciones que se utilizan en la literatura (sujeto a la elección de puntos K opuestos).

En la literatura existe un hamiltoniano en la forma [4]

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \parcial _{x}-i\parcial _{y}\\\pm \parcial_{ x}+i\parcial _{y}&0\\\end{matriz}}\right),\qquad (3.2)

que se obtiene de (3.1) si tomamos el ángulo . $\alfa =-\pi /2$

Solución de la ecuación de Dirac

Considere el hamiltoniano para un valle

H_{{+}}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\parcial }{\parcial x}}+{\frac {\parcial }{\parcial y}}\\-i {\frac {\parcial }{\parcial x}}+{\frac {\parcial }{\parcial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)

La función de onda se representa como un espinor que consta de dos componentes

\Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)

Esta función satisface la siguiente ecuación para partículas libres

\left\{{\begin{matriz}-i\hbar v\left(i{\frac {\parcial \chi }{\parcial x))+{\frac {\parcial \chi }{\parcial y)) \right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\parcial \phi }{\parcial x))+{\frac {\parcial \phi }{\parcial y} }\right)=E\chi &\end{matriz}}\right.\qquad (4.3)

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, obtenemos la ecuación de onda

{\frac {\parcial ^{2}\phi }{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}\phi }{\parcial y^{2))}=-{ \frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)

cuya solución es una onda plana

\phi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.5)

Los autovalores tienen la forma de un espectro lineal continuo

E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)

El segundo componente de la función de onda es fácil de encontrar sustituyendo la solución encontrada en la segunda ecuación (4.3)

\chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^ {{ik_{x}x+ik_{y}y}}=-ie^{{i\theta}}{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{{\ sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.7)

Por lo tanto, la función de onda para el valle se puede escribir como $K^{{+}}$

\Psi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{ E}}\end{pmatrix}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.8)

Literatura

Lozovik Yu.E., Merkulova S.P., Sokolik A.A. Fenómenos electrónicos colectivos en grafeno //Phys. - 2008. -T. 178,N º 7. —S. 757–776.

Enlaces

↑ Novoselov KS et al. "Gas bidimensional de fermiones de Dirac sin masa en grafeno", Nature 438 , 197 (2005) doi : 10.1038/nature04233
↑ 1 2 Sitenko Yu. A., Vlasii ND Propiedades electrónicas del grafeno con un defecto topológico Nucl. física B 787 , 241 (2007) doi : 10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 Preimpresión
↑ Ando T. "Teoría de los estados electrónicos y transporte en nanotubos de carbono" J. Phys. soc. Jpn. 74 , 777 (2005) doi : 10.1143/JPSJ.74.777
↑ Gusynin V.P., et. Alabama. Conductividad CA del grafeno: del modelo de unión estrecha a la electrodinámica cuántica de 2+1 dimensiones Int. Mod. J. física B 21 , 4611 (2007) doi : 10.1142/S0217979207038022