Ecuación de Yang-Baxter

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 19 de julio de 2020; la verificación requiere 1 edición .

La ecuación de Yang-Baxter (ecuación de factorización, ecuación triangular) es una ecuación que pertenece a la clase de problemas exactamente solucionables . Tiene la forma de transformaciones de equivalencia local que aparecen en una amplia variedad de casos, como circuitos eléctricos , teoría de nudos y teoría de trenzas , sistemas de espín . Toma su nombre del trabajo independiente de C. N. Young en 1968 y R. D. Baxter en 1971 en mecánica estadística .

Ecuación de Yang-Baxter dependiente del parámetro

Denote por el álgebra asociativa con unidad . The parameter-dependent Yang-Baxter equation is the equation for the parameter-dependent invertible element of the tensor product of algebras (here , the parameter , which usually varies over all real numbers in the case of an additive parameter, or over all positive real números en el caso de un parámetro multiplicativo). $A$ ${\ estilo de visualización R (u)}$ $A\otimes A$ $tu$

R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12 }(tu),

a una función en la que dos variables y se sustituyen de la manera especificada . En algunos puede convertirse en un proyector unidimensional , lo que conduce a un determinante cuántico. Para un parámetro multiplicativo, la ecuación de Yang-Baxter tiene la forma $R$ $tu$ $v$ $tu$ ${\ estilo de visualización R (u)}$

R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u) ,

a la función , donde , , y , para todos los valores del parámetro , y , y , son morfismos de álgebra definidos como $R$ $R_{12}(w)=\phi _{12}(R(w))$ $R_{13}(w)=\phi _{13}(R(w))$ $R_{23}(w)=\phi _{23}(R(w))$ $w$ $\phi _{12}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\phi _{13}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\phi _{23}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$

\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,

\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,

\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.

En algunos casos, el determinante[ ambiguo ] puede anularse en ciertos valores del parámetro espectral , y a veces incluso se convierte en un proyector unidimensional. En este caso, se puede determinar el determinante cuántico. ${\ estilo de visualización R (u)}$ $u=u_{0}$ ${\ estilo de visualización R (u)}$

La ecuación de Yang-Baxter independiente de los parámetros

Denote por el álgebra asociativa con unidad . La ecuación de Yang-Baxter independiente de los parámetros es la ecuación para , el elemento invertible del producto tensorial de álgebras . La ecuación de Yang-Baxter tiene la forma $A$ $R$ $A\otimes A$

R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},

donde , y . $R_{12}=\phi _{12}(R)$ $R_{13}=\phi _{13}(R)$ $R_{23}=\phi _{23}(R)$

Sea un módulo más . Sea un mapa lineal satisfactorio para todos . Entonces la representación del grupo trenzado , , se puede construir sobre para , donde sobre . Esta representación se puede utilizar para determinar las cuasi-invariantes de trenzas , nudos . $V$ $A$ $T:V\otimes V\to V\otimes V$ $T(x\otimes y)=y\otimes x$ ${\ estilo de visualización x, y \ en V}$ $B_n$ ${\displaystyle V^{\otimes n))$ ${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R))\otimes 1^{\otimes ni-1))$ ${\ estilo de visualización i = 1, \ puntos, n-1}$ ${\check {R}}=T\circ R$ $V\oveces V$

Literatura

HD Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum Groups, Actas del 8º Taller Internacional de Física Matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Clausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlín, ISBN 3-540-53503-9 .
Vyjayanthi Chari y Andrew Pressley, Una guía para los grupos cuánticos , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
Jacques HH Perk y Helen Au-Yang, "Ecuaciones de Yang-Baxter", (2006), arXiv : math-ph/0606053 .
Manin Yu I. Introducción a la teoría de esquemas y grupos cuánticos. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 p. - ISBN 978-5-94057-635-8 .