Ecuaciones de proca

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Las ecuaciones de Proca son una generalización de las ecuaciones de Maxwell , diseñadas para describir partículas masivas con espín 1. Las ecuaciones de Proca generalmente se escriben como

\parcial _{i}F^{ik}+m^{2}A^{k}=0

{\displaystyle F^{kl}=\parcial ^{k}A^{l}-\parcial ^{l}A^{k))

donde está el tensor de campo electromagnético antisimétrico : ${\ estilo de visualización \ F ^ {ik}}$

F^{ik}=\left({\begin{matriz}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{ y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matriz}}\right)

Las ecuaciones de Proca también se pueden representar como

\parcial _{i}F^{ik}+m^{2}A^{k}=0

{\ estilo de visualización (\ parcial _ {k} \ parcial ^ {k} + m ^ {2}) A ^ {l} = 0}

Las ecuaciones de Proca no son invariantes de calibre .

Densidad lagrangiana

Consideramos el campo de cuatro potenciales A μ = (φ/ c , A ), donde φ es el potencial electrostático , A es el potencial magnético . La densidad lagrangiana se da de la siguiente manera:

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{16\pi }}(\parcial ^{\mu }A^{\nu }-\parcial ^{\nu }A^{\ mu })(\parcial _ {\mu }A_{\nu }-\parcial _{\nu }A_{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{8\pi \hbar ^{2))}A^{\nu }A_{\nu }.

donde c es la velocidad de la luz , y ħ es la constante de Planck reducida .

Derivación de la ecuación

La ecuación de movimiento de Euler-Lagrange para tal Lagrangiano, también llamada Ecuación de Proca , tiene la siguiente forma:

\parcial _{\mu}(\parcial ^{\mu }A^{\nu }-\parcial ^{\nu }A^{\mu })+\left({\frac {mc}{ \hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0

que es equivalente a la siguiente ecuación

\left[\parcial _{\mu }\parcial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\nu }=0

en condicion

{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0}

que es solo el calibre Lorentz . Siempre que m = 0, las ecuaciones se convierten en las ecuaciones de Maxwell en el vacío (es decir, se implica la ausencia de cargas y corrientes). La ecuación de Proca está estrechamente relacionada con la ecuación de Klein-Gordon-Fock .

En términos más familiares, la ecuación es:

\Box \phi -{\frac {\parcial }{\parcial t))\left({\frac {1}{c^{2))}{\frac {\parcial \phi }{\parcial t))+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi

\Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2))}{\frac {\parcial \phi }{\parcial t))+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar}}\right)^{2}\mathbf {A}

La ecuación de Proca también se puede derivar de consideraciones de teoría de grupos como una ecuación que es invariante bajo las transformaciones de Poincaré y describe la función de onda de una partícula elemental con masa , espín , energía positiva, paridad P fija. [una] $metro$ $una$

Notas

↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Grupos de simetría y partículas elementales. - L., Universidad Estatal de Leningrado , 1983. - p. 324

Literatura

Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Campos cuánticos. — M.: Nauka, 1980. — 320 p. (pág. 29, 33).
Ryder L. Teoría cuántica de campos. - M.: Mir, 1987. - 511 p., (p. 86-87).
Itsikson K., Zyuber Zh.-B. Teoría cuántica de campos. Tomo 1. - M.: Mir, 1984. - 448 p. (pág. 166).

Véase también

Enlaces

La ecuación de Proca en la "Enciclopedia física"