Ecuación de Klein-Gordon

La ecuación de Klein-Gordon (a veces Klein-Gordon-Fock , Klein-Fock [1] [2] , Schrödinger-Gordon [3] ) es una versión relativista de la ecuación de Schrödinger :

\parcial _{x}^{2}\psi +\parcial _{y}^{2}\psi +\parcial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2 }}\parcial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0

o (usando unidades, donde , es el operador de d'Alembert ): $\hbar=c=1$ $\cuadrado\$

{\ estilo de visualización (\ cuadrado \ -m^{2}) \ psi = 0}

Se utiliza para describir partículas que se mueven rápidamente y que tienen una masa (masa en reposo). Estrictamente aplicable a la descripción de campos masivos escalares (como el campo de Higgs ). Puede generalizarse a partículas con giros enteros y semienteros [4] . Entre otras cosas, está claro que la ecuación es una generalización de la ecuación de onda , adecuada para describir campos escalares y vectoriales sin masa.

Los sistemas mecánicos (reales o imaginarios) descritos por la ecuación de Klein-Gordon-Fock pueden ser simples modificaciones de los sistemas descritos por la ecuación de onda, por ejemplo:

en el caso unidimensional, es un hilo pesado estirado que yace (pegado) sobre un forro elástico (Hooke).
un cristal macroscópicamente isótropo, cada átomo del cual, además de enlazarse con átomos vecinos, también está en un potencial cuadrático bien fijo en el espacio.
es más realista, si hablamos de cristales reales, considerar los modos de vibraciones transversales, en las que, por ejemplo, las capas vecinas de átomos vibran en antifase: tales modos (en la aproximación lineal) obedecerán al principio bidimensional de Klein. Ecuación de Gordon-Fock en coordenadas situadas en el plano de las capas.

Una ecuación en la que el último término ("masa") tiene un signo opuesto al habitual describe un taquión en física teórica . Esta versión de la ecuación también admite una implementación mecánica simple.

La ecuación de Klein-Gordon-Fock para una partícula libre (que se da arriba) tiene una solución simple en forma de ondas planas sinusoidales .

Poniendo a cero las derivadas espaciales (que en la mecánica cuántica corresponde al momento cero de la partícula), tenemos para la ecuación habitual de Klein-Gordon-Fock un oscilador armónico con frecuencia , que corresponde a una energía en reposo distinta de cero determinada por la masa de la partícula. La versión taquiónica de la ecuación en este caso es inestable y su solución incluye, en el caso general, un exponente indefinidamente creciente. $\pm mc^{2}/\hbar$ $metro$

Historia

La ecuación, que lleva el nombre de Oskar Klein y Walter Gordon , fue escrita originalmente por Erwin Schrödinger antes de escribir la ecuación no relativista que ahora lleva su nombre. Lo abandonó (sin publicarlo) porque no pudo incluir el espín del electrón en esta ecuación. Schrödinger hizo una simplificación de la ecuación y encontró "su" ecuación.

En 1926 , poco después de la publicación de la ecuación de Schrödinger , Fock [5] [6] escribió un artículo sobre su generalización al caso de los campos magnéticos, donde las fuerzas dependían de la velocidad, y dedujo de forma independiente esta ecuación. Tanto Klein [7] (su trabajo apareció algo antes, pero se agotó después de que el artículo de Fock fue aceptado para su publicación) como Fock utilizaron el método Kaluza-Klein . Fock también introdujo una teoría de calibre para la ecuación de onda.

El artículo de Gordon (principios de 1926) se dedicó al efecto Compton [8] .

Conclusión

(Aquí se utilizan unidades, donde ). $\hbar=c=1$

La ecuación de Schrödinger para una partícula libre se escribe de la siguiente manera:

{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi =i\parcial _{t}\psi

donde es el operador de cantidad de movimiento ; el operador se llamará, en contraste con el hamiltoniano, simplemente el operador de energía. ${\sombrero {{\mathbf {p}}}}=-i{\mathbf {\nabla }}$ ${\sombrero {E}}=i\parcial _{t}$

La ecuación de Schrödinger no es covariante relativista, es decir, no concuerda con la teoría especial de la relatividad (SRT).

Usamos la relación de dispersión relativista (conexión de energía y cantidad de movimiento) (de SRT ):

{\displaystyle p^{2}+m^{2}=E^{2))

Luego, simplemente sustituyendo el operador de momento mecánico cuántico y el operador de energía [9] , obtenemos:

((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\parcial _{t}^{2}\psi

que se puede escribir en forma covariante de la siguiente manera:

{\ estilo de visualización (\ cuadrado \ -m^{2}) \ psi = 0}

donde es el operador de d'Alembert . $\square \ =\nabla ^{2}-\parcial _{t}^{2}$

Solución de la ecuación de Klein-Gordon-Fock para una partícula libre

Buscar una solución a la ecuación de Klein-Gordon-Fock para una partícula libre

\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}} }\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar^{2}}}\psi

puede, como para cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, en forma de superposición (es decir, cualquier combinación lineal, finita o infinita) de ondas planas:

{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

sustituyendo cada una de esas ondas en la ecuación, obtenemos la condición en y : ${\matemáticas k}$ $\omega$

-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{ 2}}}

Una onda plana, como puedes ver fácilmente, describe un estado puro con cierta energía y cantidad de movimiento (es decir, es una función propia de los operadores correspondientes). La energía y el momento (es decir, los valores propios de estos operadores), en base a esto, se pueden calcular simplemente, como en el caso de una partícula no relativista:

\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi\rangle =\hbar \mathbf {k}

\langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E))|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial t))|\ psi \rangle =\hbar \omega

La relación encontrada y luego (nuevamente) da la ecuación de conexión entre la energía y el momento de una partícula relativista con masa distinta de cero, conocida por los clásicos: $k$ $\omega$

{\displaystyle \langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2))

Además, es claro que la relación para valores promedio se cumplirá no solo para estados con cierta energía y cantidad de movimiento, sino también para cualquiera de sus superposiciones, es decir, para cualquier solución de la ecuación de Klein-Gordon-Fock ( lo que, en particular, asegura que esta relación también se cumple en el límite clásico).

Para partículas sin masa podemos poner en la última ecuación. Entonces obtenemos para partículas sin masa la ley de dispersión (también es la relación entre energía y cantidad de movimiento) en la forma: $metro=0$

{\displaystyle \langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2))

Utilizando la fórmula de la velocidad de grupo , no es difícil obtener las fórmulas relativistas usuales para la relación del momento y la energía con la velocidad; en principio, se puede lograr el mismo resultado simplemente calculando el conmutador del hamiltoniano con la coordenada; pero en el caso de la ecuación de Klein-Gordon-Fock, encontramos dificultades para escribir el hamiltoniano de forma explícita [10] (solo el cuadrado del hamiltoniano es obvio). ${\mathbf {v}}_{{gr}}=\parcial \omega /\parcial {\mathbf {k}}\$

Notas

↑ Demkov Yu. N. Desarrollo de la teoría de colisiones electrón-átomo en la Universidad de Leningrado Copia de archivo del 17 de mayo de 2014 en Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D. Nueva vida de integrabilidad completa // Phys. - 2013. - Tomo 183. - Nº 5. - Pág. 490.
↑ G. Wentzel Introducción a la teoría cuántica de campos de ondas. - M., L.: OGIZ, 1947. - S. 32
↑ ver Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introducción a la teoría de campos cuantizados. - § 4, 6.
↑ Vladimir Fock Archivado el 2 de enero de 2015 en Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
↑ Vladimir Fock // Zeitschrift fur Physik 39 (1926) 226.
↑ Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Archivado el 14 de octubre de 2017 en Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.
↑ Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Archivado el 10 de junio de 2017 en Wayback Machine (El efecto Compton en la teoría de Schrödinger) // Zeitschrift für Physik. — v. 40.-iss. 1.-pp. 117-133 (1926). -DOI 10.1007/BF01390840 .
↑ Uno podría simplemente tomar la raíz del operador entre paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación $((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\parcial _{t}^{2}\psi$ , es decir, encontrar el hamiltoniano de esta manera; entonces la primera derivada con respecto al tiempo quedaría en el lado derecho, y la analogía con la ecuación de Schrödinger sería aún más inmediata y directa. Sin embargo, se argumenta que para el caso de un campo escalar (o vectorial), es imposible hacer esto de tal manera que el hamiltoniano resultante sea local. Para el caso de un bispinor, Dirac logró así obtener un hamiltoniano local (e incluso con derivadas de solo primer orden), obteniendo así la llamada ecuación de Dirac (cuyas soluciones en el espacio de Minkowski, por cierto, también son soluciones de la ecuación de Klein-Gordon, pero no al revés; y en el espacio curvo la diferencia entre las ecuaciones se vuelve clara). $\psi$ $\psi$
↑ ver nota 2.

Véase también

Enlaces

Ecuación lineal de Klein-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
Ecuación no lineal de Klein-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.

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