La ecuación de Klein-Gordon (a veces Klein-Gordon-Fock , Klein-Fock [1] [2] , Schrödinger-Gordon [3] ) es una versión relativista de la ecuación de Schrödinger :
,o (usando unidades, donde , es el operador de d'Alembert ):
.Se utiliza para describir partículas que se mueven rápidamente y que tienen una masa (masa en reposo). Estrictamente aplicable a la descripción de campos masivos escalares (como el campo de Higgs ). Puede generalizarse a partículas con giros enteros y semienteros [4] . Entre otras cosas, está claro que la ecuación es una generalización de la ecuación de onda , adecuada para describir campos escalares y vectoriales sin masa.
Los sistemas mecánicos (reales o imaginarios) descritos por la ecuación de Klein-Gordon-Fock pueden ser simples modificaciones de los sistemas descritos por la ecuación de onda, por ejemplo:
Una ecuación en la que el último término ("masa") tiene un signo opuesto al habitual describe un taquión en física teórica . Esta versión de la ecuación también admite una implementación mecánica simple.
La ecuación de Klein-Gordon-Fock para una partícula libre (que se da arriba) tiene una solución simple en forma de ondas planas sinusoidales .
Poniendo a cero las derivadas espaciales (que en la mecánica cuántica corresponde al momento cero de la partícula), tenemos para la ecuación habitual de Klein-Gordon-Fock un oscilador armónico con frecuencia , que corresponde a una energía en reposo distinta de cero determinada por la masa de la partícula. La versión taquiónica de la ecuación en este caso es inestable y su solución incluye, en el caso general, un exponente indefinidamente creciente.
La ecuación, que lleva el nombre de Oskar Klein y Walter Gordon , fue escrita originalmente por Erwin Schrödinger antes de escribir la ecuación no relativista que ahora lleva su nombre. Lo abandonó (sin publicarlo) porque no pudo incluir el espín del electrón en esta ecuación. Schrödinger hizo una simplificación de la ecuación y encontró "su" ecuación.
En 1926 , poco después de la publicación de la ecuación de Schrödinger , Fock [5] [6] escribió un artículo sobre su generalización al caso de los campos magnéticos, donde las fuerzas dependían de la velocidad, y dedujo de forma independiente esta ecuación. Tanto Klein [7] (su trabajo apareció algo antes, pero se agotó después de que el artículo de Fock fue aceptado para su publicación) como Fock utilizaron el método Kaluza-Klein . Fock también introdujo una teoría de calibre para la ecuación de onda.
El artículo de Gordon (principios de 1926) se dedicó al efecto Compton [8] .
(Aquí se utilizan unidades, donde ).
La ecuación de Schrödinger para una partícula libre se escribe de la siguiente manera:
,donde es el operador de cantidad de movimiento ; el operador se llamará, en contraste con el hamiltoniano, simplemente el operador de energía.
La ecuación de Schrödinger no es covariante relativista, es decir, no concuerda con la teoría especial de la relatividad (SRT).
Usamos la relación de dispersión relativista (conexión de energía y cantidad de movimiento) (de SRT ):
.Luego, simplemente sustituyendo el operador de momento mecánico cuántico y el operador de energía [9] , obtenemos:
,que se puede escribir en forma covariante de la siguiente manera:
,donde es el operador de d'Alembert .
Buscar una solución a la ecuación de Klein-Gordon-Fock para una partícula libre
puede, como para cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, en forma de superposición (es decir, cualquier combinación lineal, finita o infinita) de ondas planas:
,sustituyendo cada una de esas ondas en la ecuación, obtenemos la condición en y :
.Una onda plana, como puedes ver fácilmente, describe un estado puro con cierta energía y cantidad de movimiento (es decir, es una función propia de los operadores correspondientes). La energía y el momento (es decir, los valores propios de estos operadores), en base a esto, se pueden calcular simplemente, como en el caso de una partícula no relativista:
, .La relación encontrada y luego (nuevamente) da la ecuación de conexión entre la energía y el momento de una partícula relativista con masa distinta de cero, conocida por los clásicos:
.Además, es claro que la relación para valores promedio se cumplirá no solo para estados con cierta energía y cantidad de movimiento, sino también para cualquiera de sus superposiciones, es decir, para cualquier solución de la ecuación de Klein-Gordon-Fock ( lo que, en particular, asegura que esta relación también se cumple en el límite clásico).
Para partículas sin masa podemos poner en la última ecuación. Entonces obtenemos para partículas sin masa la ley de dispersión (también es la relación entre energía y cantidad de movimiento) en la forma:
.Utilizando la fórmula de la velocidad de grupo , no es difícil obtener las fórmulas relativistas usuales para la relación del momento y la energía con la velocidad; en principio, se puede lograr el mismo resultado simplemente calculando el conmutador del hamiltoniano con la coordenada; pero en el caso de la ecuación de Klein-Gordon-Fock, encontramos dificultades para escribir el hamiltoniano de forma explícita [10] (solo el cuadrado del hamiltoniano es obvio).
física matemática | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tipos de ecuaciones | |||||||||||
Tipos de ecuaciones | |||||||||||
Condiciones de borde | |||||||||||
Ecuaciones de la física matemática |
| ||||||||||
Métodos de solución |
| ||||||||||
Estudio de Ecuaciones | |||||||||||
Temas relacionados |