Forma de volumen

Una forma de volumen es una forma diferencial de dimensiones superiores en una variedad uniforme (es decir, una forma - en una variedad - dimensional) que no desaparece en ningún punto. $norte$ $norte$

La forma de volumen nos permite definir la integral de una función sobre una variedad. En otras palabras, la forma del volumen define la medida sobre la cual se pueden integrar las funciones.

Propiedades

Una variedad lisa admite una forma de volumen si y solo si es orientable.
En una variedad con forma de volumen , la divergencia de un campo vectorial se puede definir utilizando las siguientes identidades: $\omega$ $X$ $(\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

donde denota la derivada de Lie con respecto a , es el diferencial exterior de y es la operación de sustitución en .

{\mathcal {L}}_{X}

X

d

X\;\lresquina \;\omega

X

\omega

Ejemplos

En cualquier grupo de Lie, se obtiene una elección natural de la forma del volumen a partir de la forma en la unidad mediante desplazamientos a la derecha (oa la izquierda). Estas formas se denominan invariantes por la derecha y por la izquierda. Como consecuencia, todo grupo de Lie es orientable. La medida correspondiente se llama la medida de Haar .

Una variedad simpléctica de dimensión tiene una forma de volumen natural . ${\ estilo de visualización (M, \ omega)}$ $2{\cdot}n$ $\omega ^{{\cuña n}}$

Cualquier variedad pseudo-riemanniana orientada (incluida la variedad riemanniana ) tiene una forma de volumen natural, que en coordenadas locales se puede expresar como $\omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$

donde es el valor absoluto del determinante de la matriz de representación del tensor métrico .

|g|

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Literatura