Variedad simpléctica

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 19 de septiembre de 2022; la verificación requiere 1 edición .

Una variedad simpléctica es una variedad con una forma simpléctica definida en ella , es decir, una forma 2 diferencial cerrada no degenerada .

El ejemplo más importante de una variedad simpléctica es el paquete cotangente . La estructura simpléctica permite introducir la mecánica hamiltoniana de forma geométrica natural y da una interpretación visual de muchas de sus propiedades: si es el espacio de configuración de un sistema mecánico, entonces es el espacio de fase que le corresponde . $T^{*}M$ $METRO$ $T^{*}M$

Definición

Una 2-forma diferencial se llama estructura simpléctica si es no degenerada y cerrada , es decir, su derivada externa es igual a cero, $\omega$

d\omega =0,

y para cualquier vector tangente distinto de cero existe un vector tal que $v\en T_{x}M$ ${\ estilo de visualización w \ en T_ {x} M}$

{\ estilo de visualización \ omega (v, w) \ neq 0.}

Una variedad con una forma simpléctica dada en ella se llama variedad simpléctica . $METRO$

Notas

De la definición se sigue que una variedad simpléctica tiene una dimensión par.
Si la dimensión es , entonces la no degeneración de la forma es equivalente a la condición . $METRO$ $2n$ $\omega$ ${\ estilo de visualización \ omega ^ {\ cuña n} \ neq 0}$

Definiciones relacionadas

Un difeomorfismo de variedades simplécticas se llama simplectomorfismo si conserva la estructura simpléctica. $f\dos puntos M\to N$

Sea una función suave arbitraria en una variedad simpléctica. La forma simpléctica asocia la función con un campo vectorial definido por la siguiente identidad: $H\dos puntos M\to \mathbb {R}$ $H$ $V_{H}$ $dH(X)=\omega (V_{H},X).$
- Esta definición es análoga a la definición de un gradiente , ya veces se le llama el gradiente simpléctico de la función . $V_{H}$ $H$
- Un campo que se puede obtener de esta manera se llama hamiltoniano . $V_{H}$
- Dado que la forma no es degenerada, el campo vectorial se define de forma única. En coordenadas de Darboux, este mapa tiene la forma $\omega$ $V_{H}$
${\dot {{\mathbf q}}}={\frac {\parcial H}{\parcial {\mathbf p}}},\quad {\dot {{\mathbf p}}}=-{\frac { \parcial H}{\parcial {\mathbf q}}},$

correspondiente a las ecuaciones de Hamilton , y se llama hamiltoniano (función de Hamilton).

H

Los corchetes de Poisson convierten el conjunto de hamiltonianos en un álgebra de Lie y están definidos por la regla $METRO$

[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).

Propiedades

Teorema de Darboux : Todas las variedades simplécticas son localmente simplectomorfas. Así, en una vecindad de cualquier punto de la variedad, se pueden elegir coordenadas, llamadas coordenadas de Darboux , en las que la forma simpléctica tiene la forma $\omega =d{\mathbf p}\cuña d{\mathbf q}$

En este caso, en el espacio tangente de cada punto de la vecindad considerada, se elige la base de Darboux .

El flujo de fase hamiltoniano conserva la estructura simpléctica (sigue de la fórmula de Cartan): ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$

Aquí está la derivada de Lie con respecto al campo vectorial . Por lo tanto, el flujo de fase hamiltoniano es un simplectomorfismo.

{\mathcal {L}}_{V_{H}}

V_{H}

En particular, dado que el volumen está en , obtenemos el teorema de Liouville sobre la conservación del volumen de fase : $\omega ^{{\cuña n}}$ $METRO$ ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$

Estructura de contacto

Cada variedad simpléctica -dimensional está canónicamente asociada con una variedad de contacto bidimensional , llamada su contactización . Por el contrario, para cualquier variedad de contacto bidimensional existe su simplificación , que es una variedad bidimensional. $2n$ ${\ estilo de visualización (2n+1)}$ ${\ estilo de visualización (2n+1)}$ ${\ estilo de visualización (2n+2)}$

Variaciones y generalizaciones

Una variedad se llama multisimpléctica de grado si se le da una forma k diferencial cerrada no degenerada . $k$

Véase también

espacio simpléctico

Enlaces

D. V. Anosov . "Sobre el desarrollo de la teoría de los sistemas dinámicos". Geometría simpléctica.
Clase 5: Soportes de Poisson, formas diferenciales y polivectores 2013

Literatura

Arnold VI Métodos matemáticos de la mecánica clásica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 copias. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Geometría simpléctica. 2ª ed. - Izhevsk: RHD, 2000. - 168s.
Thirring V. Curso de física matemática y teórica. - K. : TIMBRES, 2004. - 1040 p.
Fomenko A. T. Geometría simpléctica. Métodos y aplicaciones. - M. : Ed. Universidad Estatal de Moscú, 1988. - 414p.