Fórmula Brahmagupta

La fórmula de Brahmagupta expresa el área de un cuadrilátero inscrito en un círculoen función de las longitudes de sus lados.

Si un cuadrilátero inscrito tiene longitudes de lado y un semiperímetro , entonces su área se expresa mediante la fórmula: $a B C D$ $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ $S$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))).

Prueba

El área de un cuadrilátero inscrito en un círculo es igual a la suma de las áreas y ${\ estilo de visualización \ triángulo ABD}$ ${\ estilo de visualización \ triángulo BDC}$

S={\frac {1}{2}}ab\sen A+{\frac {1}{2}}cd\sen C.

Como es un cuadrilátero inscrito, se sigue que : $A B C D$ $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ ${\ estilo de visualización \ pecado A = \ pecado C}$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A

S^{2}={\frac {1}{4}}\sin^{2}A(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.

Habiendo escrito el teorema del coseno para el lado en y obtenemos: ${\ estilo de visualización CB}$ ${\ estilo de visualización \ triángulo ACB}$ ${\ estilo de visualización \ triángulo BDC,}$

a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.

Use ( y opuesto) y luego entre paréntesis : $\cos C=-\cos A$ $A$ $C$ ${\ estilo de visualización 2 \ cos A}$

2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.

Sustituye el resultado obtenido en la fórmula del área obtenida anteriormente:

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4))(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^ {2})^{2}

16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

Apliquemos la fórmula : ${\ estilo de visualización x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)}$

(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b ^{2}+c^{2}+d^{2})

=((a+b)^{2}-(cd)^{2})((c+d)^{2}-(ab)^{2})

=(a+b+cd)(a+b+dc)(a+c+db)(b+c+da).

Desde el semiperímetro $p={\frac{a+b+c+d}{2)),$

16S^{2}=16(pa)(pb)(pc)(pd).

Sacando la raíz cuadrada, obtenemos:

S = \sqrt{(pa)(pb)(pc)(pd)}.

Variaciones y generalizaciones

La fórmula de Brahmagupta generaliza la fórmula de Heron para el área de un triángulo : basta con suponer que la longitud de uno de los lados es igual a cero (por ejemplo, ). $re=0$
Para el caso de cuadriláteros arbitrarios , la fórmula de Brahmagupta se puede generalizar de la siguiente manera: $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$

donde es la mitad de la suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero. (Qué par de ángulos opuestos tomar no importa, ya que si la mitad de la suma de un par de ángulos opuestos es igual , entonces la mitad de la suma de los otros dos ángulos será , y )

\ theta

\ theta

180^{\circ }-\theta

\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .

A veces, esta fórmula más general se escribe como:

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)))

donde y son las longitudes de las diagonales del cuadrilátero.

tu

v

Robbins demostró que para cualquier polígono inscrito conlados, el valores la raíz de algún polinomio, cuyos coeficientes son a su vez polinomios en las longitudes de los lados. Encontró estos polinomios paray. Otros autores encontraron que el polinomiose puede elegir de modo que su coeficiente principal sea igual a uno, y el gradosea igual a, siy, si. Aquí $norte$ ${\ estilo de visualización (4S) ^ {2}}$ $PAGS$ $n=5$ $n=6$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización N = N (n)}$ $\Delta _{k}$ $n=2k+1$ ${\ estilo de visualización 2 \ Delta _ {k))$ ${\ estilo de visualización n = 2k + 2}$ $\Delta_{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum_{j=0}^ {k-1}(kj){\binom {2k+1}{j)),$

donde son los coeficientes binomiales . Para polígonos con un número pequeño de lados, tenemos , , , (secuencia A000531 en OEIS ) y , , , (secuencia A107373 en OEIS ).

{\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(kj)!}}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {1} = 1}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {2} = 7}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {3} = 38}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {4} = 187, \ puntos}

{\ estilo de visualización N (4) = 2}

{\ estilo de visualización N (5) = 7}

{\ estilo de visualización N (6) = 14}

{\ estilo de visualización N (7) = 38, \ puntos}

Si en la fórmula de Brahmagupta expresamos la mitad del perímetro a través de la mitad de la suma de todos los lados del cuadrilátero dado, elevamos al cuadrado ambas partes, multiplicamos por -16, abrimos los paréntesis y hacemos lo mismo, entonces tomará la forma:

-16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{ 2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2 })-8abcd

El lado derecho es igual a la expansión del determinante de abajo cuando se multiplica por -1. Por lo tanto, podemos escribir que [1]

16S^{2}=-{\begin{vmatriz}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatriz))

Hay una modificación de la fórmula de Brahmagupta para la geometría de Lobachevsky [2]

Véase también

Notas

↑ Starikov, 2014 , pág. 37-39.
↑ Mednykh A.D. Sobre la fórmula de Brahmagupta en la geometría de Lobachevsky. Educación Matemática 2012. Número 16. P. 172–180// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf

Literatura popular

A. Yu. Davidov . Geometría elemental en el volumen del curso de gimnasia . — 1863.
V. V. Prasolov . Fórmula de Brahmagupta // Matemáticas en la escuela . - 1991. - Nº 5 .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nuevos encuentros con la geometría. -M.:Nauka, 1978. - T. 14.- (Biblioteca del Círculo Matemático).

Literatura científica

VV Varfolomeev. Polígonos inscritos y polinomios de Heron // Matemáticas. recopilación. . - 2003. - T. 194 , N º 3 . - S. 3-24 .
Starikov V.N. Notas sobre geometría // Búsqueda científica: ciencias humanitarias y socioeconómicas: una colección de artículos científicos / Cap. edición Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Edición. 1 . - S. 37-39 .
M. Fedorchuk, I. Pak Rigidez e invariantes polinómicos de politopos convexos // : en:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J .: diario. - 2005. - vol. 129 , núm. 2 . - Pág. 371-404 . -doi : 10.1215 / S0012-7094-05-12926-X .