Fórmula de garza

Fórmula de Heron : una fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados : $S$ $a B C$

{\ Displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)))}

donde es el semiperímetro del triángulo: . $pags$ $p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)$

La fórmula está contenida en la "Métrica" de Garza de Alejandría (siglo I d. C.) y lleva su nombre (aunque también fue conocida por Arquímedes ). Heron estaba interesado en los triángulos con lados enteros, cuyas áreas también son enteras, tales triángulos se llaman Heronian , el triángulo Heronian más simple es el triángulo egipcio .

Prueba 1 (trigonométrica):

S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma}

donde es el ángulo del triángulo opuesto al lado . Por la ley de los cosenos : $\ \gamma$ $C$

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos\gamma ,

De aquí:

\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},

Medio,

\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma)(1+\cos \gamma )=

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2} } \sobre 2ab}=

={{c^{2}-(ab)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+ab)(a+bc)(a+b+c)

Notando que , , , , obtenemos: $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a+cb=2p-2b$ $c-a+b=2p-2a$

\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))).

De este modo,

S={1 \over 2}ab\sen \gamma ={\sqrt {p(pa)(pb)(pc))),

h.t.d.

Prueba 2 (basada en el teorema de Pitágoras):

De acuerdo con el teorema de Pitágoras, tenemos las siguientes igualdades para las hipotenusas: a 2 \ u003d h 2 + ( c − d ) 2 y b 2 \ u003d h 2 + d 2 - vea la figura a la derecha. Restando la segunda igualdad de la primera, obtenemos a 2 − b 2 = c 2 − 2 cd . Esta ecuación nos permite expresar d en términos de los lados del triángulo:

d={\frac{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}

Para la altura h , teníamos la igualdad h 2 = b 2 − d 2 , en la que podemos sustituir la expresión resultante por d y aplicar las fórmulas para cuadrados :

{\begin{alineado}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c }}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}- c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac{((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(bc) ^{2})}{4c^{2))}={\frac {(b+ca)(b+c+a)(a+bc)(ab+c)}{4c^{2} }}\\\end{alineado}}

Notando que , , , , obtenemos: ${\ estilo de visualización b + ca = 2p-2a}$ $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a-b+c=2p-2b$

{\begin{alineado}h^{2}&={\frac {2(pa)\cdot 2p\cdot 2(pc)\cdot 2(pb)}{4c^{2))}={ \frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{2}}}\end{alineado}}

Usando la igualdad básica para el área de un triángulo y sustituyendo la expresión resultante por h en ella, finalmente tenemos: $S={\frac{ch}{2}}$

{\begin{alineado}S={\sqrt ({\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{ 2}}}}}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))\end{alineado}}

h.t.d.

Variaciones y generalizaciones

Al expresar el semiperímetro en términos de la mitad de la suma de todos los lados de un triángulo dado, podemos obtener tres fórmulas de Heron equivalentes: $S={\frac{1}{4}}{\raíz cuadrada {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\raíz cuadrada {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2} )-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c))).$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^ {2}}}.$

La fórmula de Heron se puede escribir usando el determinante en la forma [1] : $-16S^{2}={\begin{vmatriz}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1 \\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$

El primer determinante de la última fórmula es un caso especial del determinante de Cayley-Menger para calcular el hipervolumen de un símplex .

Varias fórmulas para el área de un triángulo tienen una estructura similar a la fórmula de Heron, pero se expresan en términos de otros parámetros del triángulo. Por ejemplo, a través de las longitudes de las medianas , y y su mitad-suma [2] : $mamá}$ $megabyte}$ $m_{c}$ ${\ estilo de visualización \ sigma = (m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$ $S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) )$ ;

a través de las longitudes de las alturas y la mitad de la suma de sus recíprocos [3] :

decir ah}

media pensión}

h_{c}

H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2

S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1 })}}

; a través de los ángulos del triángulo , y , la mitad de la suma de sus senos y el diámetro del círculo circunscrito [4] :

\alfa

\beta

\gama

s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)/2

D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}

S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma ))).

El área de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se calcula mediante la fórmula de Brahmagupta : $S={\raíz cuadrada {(pa)(pb)(pc)(pd)}}$ ,

donde es el semiperímetro del cuadrilátero; en este caso, el triángulo resulta ser el caso límite de un cuadrilátero inscrito cuando la longitud de uno de los lados tiende a cero. La misma fórmula de Brahmagupta a través del determinante [5] :

p={\frac{a+b+c+d}{2}}

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatriz}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatriz))))

Para tetraedros , la fórmula de Heron-Tartaglia es correcta , que también se generaliza al caso de otros poliedros ( poliedros flexibles ): si el tetraedro tiene las mismas longitudes de borde , entonces la siguiente expresión es verdadera para su volumen : $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$ $V$ ${\begin{alineado}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^ {2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2 }l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2} ^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2 }+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_ {2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_ {3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{alineado}}$ .

La fórmula de Heron-Tartaglia se puede escribir explícitamente para el tetraedro: si , , , , , son las longitudes de las aristas del tetraedro (las tres primeras forman un triángulo; y, por ejemplo, la arista es opuesta a la arista , y así sucesivamente), luego las fórmulas [6] [ 7] : $tu$ $V$ $W$ $tu$ $v$ $w$ $tu$ $tu$ ${\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+ d )\,(a+b+cd)}}{192\,u\,v\,w}}$

dónde:

{\begin{alineado}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz} }\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+ w )\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v ) \\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{alineado}}

Según el teorema de Luillier , el área de un triángulo esférico se expresa en función de sus lados como: $\theta _{a}={\frac {a}{R)),\theta _{b}={\frac {b}{R)),\theta _{c}={\frac {c}{ R}}$ $S=4R^{2}\,\nombre del operador {arctg} {\sqrt {\nombre del operador {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\nombre del operador {tg} \ izquierda({\frac {\theta_{s}-\theta_{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta_{s}-\theta_{ b}}{2}}\right)\nombre del operador {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)))$ ,

donde está el semiperímetro.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

Notas

↑ Weisstein, Fórmula de Eric W. Heron. Archivado el 5 de septiembre de 2015 en Wayback Machine de MathWorld: un recurso web de Wolfram.
↑ Benyi, Arpad, "Una fórmula tipo Heron para el triángulo, Mathematical Gazette" 87, julio de 2003, 324-326.
↑ Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos", Mathematical Gazette 93, marzo de 2009, 108-109.
↑ Starikov V.N. Notas sobre geometría // Búsqueda científica: ciencias humanitarias y socioeconómicas: una colección de artículos científicos. Número 1 / Ch. ed. Romanova IV Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. P. 37-39
↑ W. Kahan, "¿Qué tiene que ver el volumen de un tetraedro con los lenguajes de programación informática?", [1] Archivado el 27 de junio de 2013 en Wayback Machine , págs. 16-17.
↑ Markelov S. Fórmula para el volumen de un tetraedro // Educación Matemática. Tema. 6. 2002. Pág. 132

Literatura

§ 258 en A. P. Kiselev, Geometría según Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Nikolaev N. Sobre el área de un triángulo // V.O.F.E.M. . - 1890. - Nº 108 . - S. 227-228 . (Ruso)
Raifaizen, Claude H. Una prueba más simple de la fórmula de Heron // Revista de matemáticas : revista . - 1971. - vol. 44 . - P. 27-28 . — prueba de la fórmula de Heron basada en el teorema de Pitágoras

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex

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