Fórmula de Carnot

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La fórmula de Carnot es un teorema de geometría de triángulos que relaciona la suma de distancias desde un punto arbitrario en el plano a 3 lados de un triángulo y los radios de sus círculos inscritos y circunscritos. El nombre de Lazar Carnot ( 1753-1823 ) .

Redacción

Sea D el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC .

Entonces la suma de las distancias de D a los lados del triángulo ABC , tomadas con signo menos, cuando la altura de D al lado está completamente fuera del triángulo, será igual a , donde r es el radio de la circunferencia inscrita , y R es el circuncírculo. ${\ estilo de visualización R+r}$

En particular

{\ estilo de visualización \ pm DF \ pm DG \ pm DH = R + r,}

con la elección correcta de caracteres [1] :p.83 .

Otra redacción

Fórmula de Carnot [2] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

donde son las distancias desde el centro de la circuncircunferencia , respectivamente, a los lados del triángulo (se toman con signo según de qué lado esté el centro), y son las distancias desde el ortocentro , respectivamente, a los vértices de el triangulo. ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c))$ $a B C$ ${\ estilo de visualización d_ {A}, d_ {B}, d_ {C}}$ $A B C$

La distancia desde el centro del círculo circunscrito , por ejemplo, al lado del triángulo es: $a$

k_{a}=a/(2\mahop {\rm {tg)) A);

la distancia del ortocentro , por ejemplo, al vértice del triángulo es: $A$

d_{A}=a/(\mahop {\rm {tg)) A).

Notas

La demostración del teorema utiliza el teorema de Ptolomeo .
La fórmula de Carnot a menudo se denomina teorema de Carnot [3] .

Consecuencias

Teorema del polígono inscrito japonés : [3] Si un -gon inscrito se corta en triángulos mediante diagonales disjuntas, entonces la suma de los radios de sus círculos inscritos no depende del método de corte. $norte$ $n-2$
- Además, se inscribe un -gon convexo si se cumple esta condición. $norte$

Las sumas de los radios de los círculos verde y rojo son iguales.

Notas

↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. problema en la p. 120-125. párrafo 57, p.73.
↑ 1 2 Honsberger, 1990 .

Véase también

criterio de Carnot

Literatura

Honsberger R. Un viejo teorema japonés // Kvant . - 1990. - Nº 7 . - S. 54-57 .

Enlaces

Weisstein, teorema de Eric W. Carnot (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .