Ortocentro

Ortocentro
Alturas y ortocentro
coordenadas baricéntricas	$\tan A:\tan B:\tan C$
Coordenadas trilineales	${\frac {1}{\cos A)):{\frac {1}{\cos B)):{\frac {1}{\cos C))$
código ECT	X(4)
puntos conectados
isogonalmente conjugado	centro del circulo circunscrito
adicional	centro del circulo circunscrito
Anticomplementario	punto de Longchamp

Ortocentro (del otro griego ὀρθός "recto") - el punto de intersección de las alturas de un triángulo o sus extensiones. Denotado tradicionalmente por la letra latina . Según el tipo de triángulo, el ortocentro puede estar dentro del triángulo (en uno de ángulo agudo), fuera de él (en uno de ángulo obtuso), o coincidir con el vértice (en uno rectangular, coincide con el vértice en ángulo recto). El ortocentro se refiere a los puntos destacados de un triángulo y aparece en la Enciclopedia de los centros de triángulos de Clark Kimberling como punto X(4). $H$

Propiedades

Si en los cuatro puntos , , , el punto es el punto de intersección de las alturas del triángulo , entonces cualquiera de los cuatro puntos es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres puntos. Tal cuádruple a veces se llama un sistema ortocéntrico de puntos (ver figura). $A$ $B$ $C$ $D$ $D$ $A B C$
- Además, para cualquier partición del conjunto de un sistema ortocéntrico de puntos en dos pares, por ejemplo, y /o para cualquier otra partición similar, los dos segmentos de recta resultantes con extremos en los puntos dados de los conjuntos (en nuestro caso, perpendiculares ) son siempre perpendiculares, independientemente de la elección de estos dos pares $\{A B C D\}$ ${\ estilo de visualización \ {B, C \}}$ ${\ estilo de visualización \ {A, D \}}$ $antes de Cristo$ $ANUNCIO$
- Los radios de los círculos que pasan por tres puntos cualesquiera de un sistema ortocéntrico son iguales (una consecuencia del teorema de Hamilton para el círculo de Euler ). A menudo se les conoce como círculos de Johnson .
- La última afirmación se puede formular de la siguiente manera: tres segmentos de línea que conectan el ortocentro con los vértices de un triángulo acutángulo lo dividen en tres triángulos con radios iguales de los círculos circunscritos (consecuencia del teorema de Hamilton para el círculo de Euler ). En este caso, el mismo radio de estos tres círculos es igual al radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo acutángulo original.

El ortocentro se encuentra en la misma línea que el baricentro , el centro del círculo circunscrito y el centro del círculo de nueve puntos (ver línea de Euler ).
El ortocentro de un triángulo acutángulo es el centro de la circunferencia inscrita en su ortotriángulo .
El centro de un círculo circunscrito a un triángulo sirve como el ortocentro de un triángulo con vértices en los puntos medios de los lados del triángulo dado. El último triángulo se llama triángulo adicional con respecto al primer triángulo.
La última propiedad se puede formular de la siguiente manera: el centro del círculo circunscrito al triángulo sirve como el ortocentro del triángulo adicional .
Los puntos simétricos al ortocentro del triángulo con respecto a sus lados se encuentran en el círculo circunscrito (ver figura) [1] .
Los puntos simétricos al ortocentro del triángulo con respecto a los puntos medios de los lados también se encuentran en el círculo circunscrito y coinciden con puntos diametralmente opuestos a los vértices correspondientes.
Si es el centro de la circunferencia circunscrita , entonces . $O$ $\triángulo ABC$ $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C))={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b ^{2}+c^{2})}}$ [2] [3] :pág. 449 , donde es el radio del círculo circunscrito ; son las longitudes de los lados del triángulo; son los ángulos interiores del triángulo. $R$ $a B C$ $A B C$
Con la conjugación isogonal, el ortocentro va al centro del círculo circunscrito.
Cualquier segmento trazado desde el ortocentro hasta la intersección con el círculo circunscrito siempre es bisecado por el círculo de Euler . Esto se sigue del hecho de que el ortocentro es el centro de la homotecia de estos dos círculos con coeficiente . $1/2$
Cuatro líneas que se intersecan por pares, de las cuales tres no pasan por el mismo punto (cuadrilátero), forman cuatro triángulos cuando se intersecan. Sus ortocentros se encuentran en la misma línea recta ( en la línea de Aubert ).
Si asumimos que el ortocentro del triángulo divide la primera altura en partes de longitud y , la segunda altura en partes de longitud y , la tercera altura en partes de longitud y , entonces [4] [5] . $tu$ $v$ $w$ $X$ $y$ $z$ ${\ estilo de visualización uv = wx = yz}$
La cadena de ecuaciones del último párrafo: esencialmente significa que los tres pares de segmentos en que el ortocentro divide las tres alturas de un triángulo acutángulo obedecen a la regla de las cuerdas que se cortan dentro del círculo, por ejemplo :. De aquí se deduce automáticamente que a través de los cuatro extremos de dos alturas cualesquiera de un triángulo acutángulo siempre es posible dibujar un círculo (las alturas en él serán cuerdas que se intersecan). Resulta que esta afirmación es válida tanto para los triángulos obtusos como para los rectángulos. ${\ estilo de visualización uv = wx = yz}$ ${\ estilo de visualización uv = wx}$
La distancia del lado al centro de la circuncircunferencia es la mitad de la distancia del vértice opuesto al ortocentro [6] [7] .
La suma de los cuadrados de las distancias de los vértices al ortocentro más la suma de los cuadrados de los lados es igual a doce cuadrados del radio de la circunferencia circunscrita [8] .
Las tres bases de las alturas de un triángulo acutángulo, o las tres proyecciones del ortocentro sobre los lados del triángulo, forman un ortotriángulo .

La polar trilineal del ortocentro es el eje órtico (ver figura) ${\ Displaystyle DEF}$

Cuatro ortocentros de cuatro triángulos formados por cuatro líneas rectas que se cortan por pares, de las cuales tres no pasan por el mismo punto, se encuentran en una línea recta (línea de Auber del cuadrilátero ) . Aquí se utilizan los mismos cuatro triángulos que en el punto de Miquel .

Hay una fórmula de Carnot [9] : $R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})$ ,

donde , , son las distancias desde el centro de la circunferencia circunscrita , respectivamente, a los lados , , del triángulo, , , son las distancias desde el ortocentro, respectivamente, a los vértices , , del triángulo.

{\ Displaystyle k_ {a}}

{\ Displaystyle k_ {b}}

k_{c}

a

b

C

d_{A}

d_{B}

{\ estilo de visualización d_ {C}}

A

B

C

La distancia desde el centro del círculo circunscrito al lado es: $a$ $k_{a}={\frac {a}{2\operatorname {tg} A}}$ ;

la distancia del ortocentro a la parte superior es: $A$ $d_{A}={\frac {a}{\operatorname {tg} A}}$ .

Sistema ortocéntrico . Aquí O 1 , O 2 , O 3 y O 4 son los centros de los círculos de cuatro posibles triángulos formados a partir de los puntos ortocéntricos A 1 , A 2 , A 3 y A 4 (ver Fig.). Tres de ellos son los vértices del triángulo original y el cuarto es su ortocentro. Los radios de los cuatro círculos son iguales. Los centros de tres de los cuatro círculos (excepto el triángulo original descrito) forman los vértices de un triángulo igual al original, con lados paralelos en pares a los lados del triángulo original.

*Si la línea ℓ del ortopolo P pasa por el ortocentro Q del triángulo, entonces el punto ubicado en la continuación del segmento PQ que conecta el ortopolo con el ortocentro del otro lado a una distancia igual a PQ se encuentra en el círculo de Euler de este triangulo. [diez]

Historia

La afirmación: "Las 3 alturas de un triángulo se cortan en un punto", ahora llamado ortocentro , no se encuentra en los Elementos de Euclides . El ortocentro se utilizó por primera vez en las matemáticas griegas en el Libro de Lemas de Arquímedes, aunque Arquímedes no proporcionó una prueba explícita de la existencia del ortocentro.

Algunos historiadores atribuyen esta afirmación a Arquímedes y la llaman teorema de Arquímedes [11] . Hasta mediados del siglo XIX, el ortocentro se denominaba a menudo punto de Arquímedes [12] .

De forma explícita, esta afirmación ("Las 3 alturas de un triángulo se cortan en un punto") se encuentra en Proclo (410-485), el comentarista de Euclides [13] .

Otros historiadores de las matemáticas consideran a William Chapple como el autor de la primera demostración.( Miscelánea Curiosa Mathematica , 1749) [14] .

El término ortocentro fue utilizado por primera vez por W. H. Besanten "Secciones cónicas investigadas geométricamente (1869)" ( [15] ) [16] .

Véase también

Notas

↑ Honsberger, 1995 , pág. Dieciocho.
↑ Marie-Nicole Gras, "Distancias entre el circuncentro del triángulo extouch y los centros clásicos", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Archivado el 28 de abril de 2021 en Wayback Machine .
↑ Smith, Geoff y Leversha, Gerry, "Euler y la geometría del triángulo", Mathematical Gazette 91, noviembre de 2007, 436-452.
↑ Altshiller-Court, 2007 , pág. 94.
↑ Honsberger, 1995 , pág. veinte.
↑ Altshiller-Court, 2007 , pág. 99
↑ Honsberger, 1995 , pág. 17, 23.
↑ Altshiller-Court, 2007 , pág. 102.
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores . - 2ª ed. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125 (tarea), párrafo 57, p. 73. (Ruso)
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. (Párrafo: G. El Ortopolo. Item. 699. Teorema. Fig. 156. P.290-291). Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Efremov D. Nueva geometría de un triángulo. Odessa, 1902, página 9, página 16. Alturas de un triángulo. Teorema de Arquímedes.
↑ Maureen T. Carrol, Elyn Rykken. Geometría: La Línea y el Círculo . Fecha de acceso: 10 de abril de 2020. (indefinido)
↑ Nathan Altshiller-Court. Geometría universitaria. Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. segunda edicion. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover, Inc. 2007. P. 298, § 175.
↑ Bogomolny, Alexander, Posiblemente la primera prueba de la concurrencia de altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Consultado el 17 de noviembre de 2019. Archivado el 7 de mayo de 2021 en Wayback Machine .
↑ Secciones cónicas tratadas geométricamente, 1869. Ref: 1895: Secciones cónicas tratadas geométricamente . Archivado el 18 de abril de 2018 en la Wayback Machine de las monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell.
↑ Nathan Altshiller-Court. Geometría universitaria. Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. segunda edicion. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover, Inc. 2007. § 176, pág. 94; § 176, pág. 298

Literatura

Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 37-39. — ISBN 5-94057-170-0 .
Nathan Altshiller-Court. Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo . - Publicaciones de Dover, Inc., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .
Ross Honsberger. Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX . - Asociación Matemática de América , 1995. - vol. 37. - Pág. 17-26. - (Nueva Biblioteca Matemática). - ISBN 0-88385-639-5 (Vol. 37). - ISBN 0-88385-600-X (juego completo).

Enlaces

Plano viviente
Weisstein, Eric W. Orthocenter (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Bernard Gibert Circumcubic K006 (enlace no disponible)
Clark Kimberling, Enciclopedia de centros de triángulos .
Weisstein, Eric W. "Sistema ortocéntrico". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. [una]

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex