Fórmula de Plucker

La fórmula de Plücker es una de una familia de fórmulas desarrolladas por el matemático y físico alemán Plücker en la década de 1830. Las fórmulas relacionan algunas invariantes de curvas algebraicas e invariantes de sus curvas duales . Un invariante llamado género , que es común tanto a una curva como a su curva dual, se relaciona con otros invariantes mediante fórmulas similares. Estas fórmulas y el hecho de que cada uno de estos invariantes debe ser un número entero positivo imponen restricciones estrictas sobre los posibles valores de los invariantes.

Invariantes de Plücker y ecuaciones básicas

Una curva en este contexto viene dada por una ecuación algebraica no degenerada en el plano proyectivo complejo . Las líneas en este plano corresponden a puntos en el plano proyectivo dual , mientras que las líneas tangentes a una curva algebraica dada C corresponden a puntos en la curva algebraica C * , llamada curva dual . Los puntos de la curva C corresponden a rectas tangentes a C * , por lo que la curva dual de C * es C.

Las dos primeras invariantes involucradas en las fórmulas de Plücker son el grado d de la curva C y el grado d * , llamado clase de la curva C. Geométricamente , d es el número de puntos de intersección de una línea arbitraria y C , incluidos los puntos complejos y los puntos en el infinito, teniendo en cuenta la multiplicidad. La clase d * es el número de tangentes a C que pasan por un punto arbitrario del plano. Por ejemplo, una sección cónica tiene grado y clase 2. Si la curva C no tiene puntos singulares , la primera fórmula de Plücker establece que

d^{*}=d(d-1),

pero para curvas con puntos singulares, la fórmula debe corregirse.

Sea δ el número de puntos dobles ordinarios de la curva C , es decir, que tienen tangentes diferentes (dichos puntos se denominan puntos de autointersección ) o aislados , y κ el número de vértices , es decir, puntos que tienen una sola tangente. Si la curva C tiene singularidades de mayor grado, entonces se consideran varios puntos singulares, según el análisis de la naturaleza de la singularidad. Por ejemplo, un punto triple ordinario cuenta como tres puntos dobles. Nuevamente, los puntos imaginarios y los puntos en el infinito también cuentan. La forma refinada de la primera igualdad de Plücker tiene la forma

d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .

De manera similar, sea δ * el número de puntos dobles ordinarios y κ * el número de vértices de la curva C * . La segunda fórmula de Plucker establece que

\kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .

El doble punto geométricamente ordinario de la curva C * es una recta tangente a la curva en dos puntos ( bitangental ), y la cúspide de la curva C * es el punto de inflexión .

Las dos primeras ecuaciones de Plucker tienen versiones duales:

d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},

\kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.

Estas cuatro igualdades no son, de hecho, independientes, por lo que cualquiera de las tres puede usarse para derivar una cuarta. Si se dan tres de los seis invariantes d , d * , δ, δ * , κ y κ * , entonces los tres restantes se pueden calcular a partir de ellos.

Finalmente, el género geométrico de la curva C se puede determinar mediante la fórmula

g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .

Esta igualdad es equivalente a la doble

g={1 \sobre 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-\delta ^{*}-\kappa ^{*}

En total, tenemos cuatro ecuaciones independientes con siete incógnitas y, dadas tres incógnitas, se pueden calcular las cuatro restantes.

Curvas sin puntos especiales

Un caso especial importante es cuando la curva C no tiene puntos singulares, es decir, δ y κ son iguales a 0, por lo que las invariantes restantes se pueden calcular en términos de d solo :

d^{*}=d(d-1)

\delta ^{*}={1 \sobre 2}d(d-2)(d-3)(d+3)

{\ estilo de visualización \ kappa ^ {*} = 3d (d-2)}

g={1 \sobre 2}(d-1)(d-2).

Por ejemplo, una cuarta plana sin puntos singulares tiene género 3, 28 bitangentes y 24 puntos de inflexión.

Tipos de curvas

Las curvas se clasifican en tipos según sus invariantes de Plücker. Las ecuaciones de Plücker, junto con la restricción de que los invariantes deben ser números naturales, limitan severamente el número de posibles tipos de curvas de un grado dado. Las curvas proyectivamente equivalentes deben ser del mismo tipo, pero las curvas del mismo tipo, en general, no son proyectivamente equivalentes. Las curvas de grado 2 -secciones cónicas- son de un solo tipo, dado por las igualdades d = d * =2, δ=δ * =κ=κ * = g =0.

Para curvas de grado 3, son posibles tres tipos con invariantes [1]

Tipo de	d	re *	d	k	* _	gramo
(i)	3	6	0	0	9	una
(ii)	3	cuatro	una	0	3	0
(iii)	3	3	0	una	una	0

Las curvas de tipo (ii) y (iii) son curvas cúbicas racionales, con un doble punto ordinario y una cúspide, respectivamente. Las curvas de tipo (i) no tienen puntos singulares ( curvas elípticas ).

Para curvas de grado 4, hay 10 tipos posibles con invariantes [2]

Tipo de	d	re *	d	δ *	k	* _	gramo
(i)	cuatro	12	0	28	0	24	3
(ii)	cuatro	diez	una	dieciséis	0	Dieciocho	2
(iii)	cuatro	9	0	diez	una	dieciséis	2
(iv)	cuatro	ocho	2	ocho	0	12	una
(v)	cuatro	7	una	cuatro	una	diez	una
(v)	cuatro	6	0	una	2	ocho	una
(viii)	cuatro	6	3	cuatro	0	6	0
(viii)	cuatro	5	2	2	una	cuatro	0
(ix)	cuatro	cuatro	una	una	2	2	0
(X)	cuatro	3	0	una	3	0	0

Notas

↑ Harold Hilton. Curvas algebraicas planas. - Oxford, 1920. - Pág. 201.
↑ Hilton, pág. 264

Enlaces

Griffiths F., Harris J. Principios de geometría algebraica. - 1982. - T. 1-2, per. De inglés..
Kleiman S.L. Éxito matemático. Ciencias. - 1980. - T. 35 , núm. 6 _ - S. 69-148 .
Savelov A.A. Curvas planas. Sistemática, propiedades, aplicaciones. - Moscú: Editorial estatal de literatura física y matemática, 1960.
Salmón, Jorge . Tratado sobre las curvas del plano superior , 1879, págs. 64ss.