Tipo de superficie

El género de una superficie es una característica topológica de una superficie cerrada . Definido como el número máximo de curvas cerradas que no se cortan y que no dividen la superficie en partes. $\Sigma$

Ejemplos

La esfera tiene género 0.
Thor tiene género 1.
El plano proyectivo tiene género 1. ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$

Propiedades

Superficies orientables

Para superficies orientables, el género es igual al número de asas .

De manera equivalente, tiene género si es homeomorfo a la suma conexa de una esfera ( ) y tori : $\Sigma$ $gramo$ $\Sigma$ $S^{2}$ $gramo$ $T^{2}$

\Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {T^{2}\#\ldots \#T^{2}}_{g})

El género de una superficie orientada se puede calcular en términos de su característica de Euler : $gramo$ $\Sigma$ $\chi (\Sigma)$ $g={\frac {2-\chi (\Sigma)}{2}}$ .
El género de la superficie , que es la clausura del conjunto de ceros de un polinomio de grado en posición general, se expresa en función de su grado como: $\Sigma \subconjunto \mathbb {C} P^{2}$ ${\ estilo de visualización \ {P (x, \; y) = 0 \}}$ ${\ estilo de visualización P (x, \; y)}$ $d$ $g={\frac{(d-1)(d-2)}{2}}.$
El género de una superficie hiperelíptica que es el cierre de un conjunto: $\Sigma \subconjunto \mathbb {C} P^{2}$ $\{(x,\;y)\mid y^{2}=P(x)\}$ .

Para un polinomio de grado libre de cuadrados , se expresa en términos de su grado como:

P(x)

d

g=\left\lceil {\frac {d-1}{2}}\right\rceil

Superficies no orientables

Para superficies no orientables, el género es igual al número de tiras de Möbius pegadas en él.

Equivalentemente, tiene género si es homeomorfo a la suma conexa de una esfera ( ) y planos proyectivos : $\Sigma$ $gramo$ $\Sigma$ $S^{2}$ $gramo$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$

\Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\dots \#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{ 2}}_{g})

El género de una superficie no orientable se puede calcular en términos de su característica de Euler : $gramo$ $\Sigma$ $\chi (\Sigma)$ $g=2-\chi (\Sigma)$ .

Véase también

tipo de variedad

Superficies compactas y sus inmersiones en el espacio tridimensional

La clase de homeoformidad de una superficie triangulada compacta está determinada por la orientabilidad, el número de componentes de contorno y la característica de Euler.

Sin bordes

Orientable	Esfera (género 0) Thor (género 1) "Ocho" (género 2) " Pretzel " (género 3)...
no orientable	plano proyectivo real género 1; Superficie de batalla superficie romana Botella de Klein (género 2) Superficie de pene (género 3) ...

con frontera

Disco
- hemisferio
Cinta
- Anillo
- Cilindro
La cinta de Moebius
- Cinta de Moebius
Esfera con tres agujeros...

Conceptos relacionados

Propiedades	Conectividad compacidad Triangulación o suavidad orientabilidad
Características	Número de componentes de borde Género Característica de Euler
Operaciones	Suma conectada corte de agujeros pegando el mango Colocación de la cinta de Möbius Inmersión