Fórmula Santaló

La fórmula de Santalo es una consecuencia del teorema de Liouville sobre la conservación del volumen de fase , utilizado para integrar funciones dadas en el haz de esferas unitarias de una variedad de Riemann . Es decir, permite integrar primero sobre cada geodésica por separado y luego sobre el espacio de todas las geodésicas.

Esta herramienta se utiliza para probar desigualdades isoperimétricas, [1] así como resultados de rigidez. [2]

La fórmula lleva el nombre de Luis Santalo , quien la probó en 1952. [3] [4]

Redacción

Sea una variedad riemanniana compacta y orientada con frontera . Suponemos que las longitudes de las geodésicas son limitadas, es decir, cualquier geodésica llega al límite en un tiempo determinado. Denotemos el flujo geodésico en el paquete de esferas unitarias . Después $(M, g)$ $\parcial M$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {t} \ dos puntos SM \ a SM}$ ${\ estilo de visualización SM}$

\\int \limits _{v\in SM}f(v)\cdot \mu =\int \limits _{w\in S_{+}\parcial M}\left[\int \limits_{ 0}^{\tau (w)}f(\varphi _{t}(w))\cdot dt\right]\cdot \cos \theta (w)\cdot \sigma

para cualquier función integrable en . Al mismo tiempo, suponemos que $F$ ${\ estilo de visualización SM}$

${\ estilo de visualización \ theta (w)}$ es el ángulo entre y la normal dirigida hacia adentro en el punto base del vector , es decir, el vector con el punto base en el límite de la dirigida hacia adentro . $w$ $\parcial M$ $w\in S_{+}\parcial M$ $\parcial M$ $METRO$
$\mu$ y también son formas de volumen riemannianas con respecto a la métrica de Sasaki en y . $\sigma$ ${\ estilo de visualización SM}$ $S_{+}\parcial M$
${\ estilo de visualización \ tau (w)}$ denota el tiempo de salida de la geodésica con condiciones iniciales ; eso es $w\in S_{+}\parcial M$ ${\displaystyle \tau (w)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v)\in SM\))$

Véase también

Notas

↑ Croke, Christopher B. "Una marcada desigualdad isoperimétrica de cuatro dimensiones". Commentarii Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192.
↑ Ilmavirta, Joonas y François Monard. "4 Geometría integral en variedades con contorno y aplicaciones". La transformación del radón: los primeros 100 años y más allá 22 (2019): 43.
↑ Santaló, Luis Antonio. Medida de conjuntos de geodésicas en un espacio riemanniano y aplicaciones a fórmulas integrales en espacios elípticos e hiperbólicos. 1952
↑ Santaló, Luis A. Geometría integral y probabilidad geométrica. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2004

Enlaces

Sergey Ivanov , Algunas desigualdades geométricas y teoremas de rigidez, Lección 9 en YouTube , comenzando a las 1:01:52