Fórmula de Crofton

La fórmula de Crofton es un resultado clásico de la geometría integral. Asocia la longitud de una curva con el número promedio de intersecciones de línea.

El nombre de Morgan Crofton .

Redacción

Sea una curva plana rectificable . Para una línea recta , denota por el número de puntos donde y se intersecan. Podemos parametrizar líneas orientadas por un ángulo a una dirección elegida y una distancia firmada desde el origen . Entonces la longitud de la curva es $\gama$ $yo$ $n_{\gamma}(l)$ $\gama$ $yo$ $yo$ $\varphi$ $pags$ $\gama$

L={\frac {1}{4}}\int \limits _{0}^{2\cdot \pi }d\varphi \cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }n_{\gamma }(\varphi,p)\cdot dp.

Notas

forma diferencial ${\ estilo de visualización d \ varphi \ cuña dp}$

es invariante bajo movimientos planos. Por lo tanto, proporciona una medida natural para la integración.

La fórmula de Crofton es equivalente a la siguiente declaración: La longitud de una curva es directamente proporcional a la longitud promedio de sus proyecciones ortogonales. En este caso, la longitud de la proyección se calcula teniendo en cuenta la multiplicidad.

Aplicaciones

La fórmula de Crofton da prueba de los siguientes resultados:

Si una curva plana cerrada rodea una curva convexa, entonces esta curva convexa tiene una longitud más corta.
Teorema de Barbier : Una curva de ancho constante tiene un perímetro . $a$ ${\ estilo de visualización \ pi \ cdot a}$
Desigualdades isoperimétricas : Entre curvas cerradas con un perímetro dado, un círculo tiene el área máxima.
Si una curva esférica tiene una longitud menor que , entonces se encuentra en un hemisferio abierto. Esta declaración es la clave para la demostración del teorema de giro de la curva de Fenchel . $2{\cdot}\pi$

Variaciones y generalizaciones

Problema de lanzamiento de agujas de Buffon

La fórmula de Crofton se generaliza a cualquier superficie de Riemann ; la integración utiliza la medida natural sobre el espacio de geodésicas de longitud fija.
- Por ejemplo, la longitud de una curva en la esfera unitaria es , donde denota el número promedio de intersecciones de la curva con los grandes círculos. ${\ estilo de visualización \ pi \ cdot n}$ $norte$

La transformada de Radon puede verse como una generalización de la fórmula de Crofton en la teoría de la medida.
Fórmula Santaló

Literatura

Tabachnikov, Serge Geometría y Billar . - AMS, 2005. - Pág . 36 -40. - ISBN 0-8218-3919-5 .
Santalo , L.A. Introducción a la Geometría Integral . - 1953. - Págs. 12-13, 54.
Conferencia 19 en Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Diversión Matemática . - MTSNMO, 2011. - 512 págs. - 2000 copias. - ISBN 978-5-94057-731-7 .